Уравнение Менделеева-Клапейpона. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Калькулятор ниже предназначен для решения задач на использование уравнения Клапейрона-Менделеева , или уравнение состояния идеального газа . Некоторая теория изложена под калькулятором, ну а чтобы было понятно, о чем идет речь - пара примеров задач:

Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия.
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе?

1. Некоторое количество гелия при 78 градусах Цельсия и давлении 45,6 атмосфер занимает объем 16,5 литров.
   Вопрос: Каков объем этого газа при нормальных условиях? (Напомню, что нормальными условиями для газов считается давление в 1 атмосферу и температура 0 градусов Цельсия)

В калькулятор вводим начальные условия, выбираем, что считать (число моль, новые объем, температуру или давление), заполняем при необходимости оставшиеся условия, и получаем результат.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

литры кубические метры

число молей объем давление температуру

атмосферы паскали миллиметры ртутного столба

литры кубические метры

градусы Цельсия градусы Кельвина

И эту закономерность опытным путем установили еще до вывода уравнения. Это так называемые газовые законы - законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Так, закон Бойля-Мариотта гласит (это два человека):
Для данной массы газа m при неизменной температуре Т произведение давления на объем есть величина постоянная.

Закон Гей-Люссака (а вот это один человек):
Для данной массы m при постоянном давлении P объем газа линейно зависит от температуры

Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры

Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.

Уравнение Менделеева-Клапейрона, также как и опытные законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля справедливы для широкого интервала давлений, объемов и температур. То есть во многих случаях эти законы удобны для практического применения. Однако не стоит забывать, что когда давления превышают атмосферное в 300-400 раз, или температуры очень высоки, наблюдаются отклонения от этих законов.
Собственно, идеальный газ потому и называют идеальным, что по определению это и есть газ, для которого не существует отклонений от этих законов.

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р ,объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением: Рис.7.4.

F (p , V , T )=0,

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление р 1 и находится при температуре T 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис.7.4).

Переход из состояния 1 в состояние 2осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 – 1 /), 2) изохорного (изохора 1 / – 2).

В соответствии с законами Бойля- Мариотта (7.1) и Гей-Люссака (7.5) запишем:

р 1 V 1 =p / 1 V 2 , (7.6)

. (7.7)

Исключив из уравнений (7.6) и (7.7) p / 1 получим:

.

Так как состояния 1 и 2были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.

pV/T = В = const. (7.8)

Выражение (7.8) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Д. И. Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (7.8) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых p и Τ моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m ,поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению

pV m = RT (7.9)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева .

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (7.9), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 = 1,013×10 5 Па, T 0 =273,15 К, V m =22,41×10 -3 м 3 /моль): R =8,31 Дж/(моль К).

От уравнения (7.9) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных p и T один моль газа занимает молярный объем V m , то масса т газа займет объем V= (m/М ) V m ,где Μ – молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы – килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа

pV = RT = vRT ,(7.10)

где: v=m/M - количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана

k=R/N A = 1,38∙10 -23 Дж/К.

Исходя из этого, уравнение состояния (2.4) запишем в виде

p= RT/V m = kN A T/V m = nkT ,

где N A /V m =n - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

p=nkT (7.11)

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:

N l = р 0 / (kТ 0)= 2,68∙10 25 м -3 .

Если рассматривать некоторое количество газа, то эмпирически получено, что давление (), объем () и температура () полностью характеризуют эту массу газа как термодинамическую систему, если данный газ можно представить в виде совокупности нейтральных молекул, не имеющих дипольных моментов. В состоянии термодинамического равновесия связаны между собой уравнением состояния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение состояния газа в виде:

(где — газа; — молярная масса газа; Дж/Моль К — универсальная газовая постоянная; температура воздуха в Кельвинах: ) было впервые получено Менделеевым.

Его легко получить из уравнения Клапейpона:

учитывая, что в соответствии с законом Авогадро один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем л. При этом получается, что:

Уравнение (1) называют уравнением Менделеева-Клапейpона. Иногда его записывают как:

где — количество вещества (число молей газа).

Уравнение Менделеева-Клапейpона получено на основе установленных эмпирически газовых законов. Так же как и газовые законы, уравнение Менделеева-Клапейpона является приближенным. Для разных газов границы применимости данного уравнения различны. Например, для гелия уравнение (1) справедливо в более широком диапазоне температур, чем для углекислого газа. Абсолютно точным уравнение Менделеева-Клапейpона является для идеального газа. Особенностью которого, является то, что его внутренняя энергия пропорциональна абсолютной температуре и не зависит от объема, который газ занимает.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Температуру воздуха в комнате повысили от до Как при таких условиях изменится плотность воздуха в помещении ()? Тепловым расширением стен пренебречь.
Решение	Если тепловым расширением стен можно пренебречь, то объем комнаты не изменяется. В том, случае, если воздух нагревается при постоянном объеме давление должно расти с увеличением температуры, при этом его плотность не изменяется. Однако комната не является герметичной, поэтому объем газа (воздуха) в помещении постоянным считать нельзя. Постоянным в нашем случае является давление, которое равно наружному давлению атмосферы. При увеличении температуры уменьшается масса воздуха в комнате, так как газ выходит через щели наружу. Вычислить плотность воздуха, можно используя уравнение Менделеева-Клапейpона: Разделим правую и левую части уравнения (1.1) на V, имеем: Из уравнения (1.2) выразим (), получаем: Из выражения (1.3) видно, что при постоянном плотность обратно пропорциональна температуре для одного и того же газа, значит:
Ответ

Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р , объемом V и температурой Т . Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением

f (p , V , T ) = 0 ,

где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами p 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов:

1) изотермического (изотерма 1 - 1 /),

2) изохорного (изохора 1 / - 2).

В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:

(42.1)

(42.2)

Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) , получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа

. (42.3)

Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению

(42.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева .

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях ( = 1,013×10 5 Па, = 273,15 K, = 22,41×10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).

От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем V = (m/M) V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы m газа

(42.5)

где = m/M - количество вещества.

§2 Уравнение Менделеева-Клапейрона

Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой, давлением, объёмом и т.д.

Величины p , V , T и др. характеризующие состояние системы, называются параметрами состояния.

Если какой-либо из параметров меняется внутри системы от точки к точке, то такое состояние называется неравновесным . Если параметры системы во всех точках одинаковы при неизменных внешних условиях, то такое состояние называется равновесным .

Всякий процесс, т.е. переход системы из одного состояния в другое связанно с нарушением равновесия системы. Однако бесконечно медленный процесс будет состоять из последовательности равновесных состояний. Такой процесс называется равновесным . При достаточно медленном протекании реальные процессы могут приближаться к равновесному. Равновесный процесс является обратимым, т.е. система переходит из состояния 1 в состояние 2 и обратно 2 - 1, пр о ходя через одни и те же промежуточные состояния.

Процесс, при котором система, пройдя ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом или циклом : процесс 1-2-3-4-1 на рисунке.

Связь между параметрами состояния называется уравнением состояния : f (p , V , T )=0

Клапейрон, используя законы Бойля-Мариотта и Шарля вывел уравнение состояния идеального газа.

1 - 1’: T = const - закон Бойля - Мариотта: p 1 V 1 = p 1 ’ V 2 ;

1’ - 2: V = const - закон Шарля:

т.к. состояния 1и 2 выбраны произвольно, то для данной массы газа величина остается постоянной

Уравнение Клапейрона

В- газовая постоянная, различая для различных газов.

Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро

() V m - молярный объём

Уравнение Менделеева-Клапейрона

R - универсальная (молярная) газовая постоянная.

p = const; ;

Физический смысл R : численно равна работе, совершаемой газом при изобарическом (p = const ) нагревании одного моля газа () на один Кельвин (?Т=1 К)

Введем постоянную Больцмана

тогда

p = n k T

p - давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых p и T все газы содержат в единице объёма одинаковое число молекул.

n - концентрация молекул (число молекул в единице объёма). Число молекул, содержащихся при нормальных условиях в 1 м 3 называется числом Лошмидта

§3 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (м.к.т.) газов.