Презентация - объемы тел. Презентация "Объем тел
ПОНЯТИЕ ОБЪЁМА
ПОНЯТИЕ ОБЪЁМА
S – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
V – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура, составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
3. В качестве единицы измерения площади обычно берут квадрат со стороной равной единице измерения отрезков.
ПОНЯТИЕ ОБЪЁМА
Два тела называются равными если их можно совместить наложением
S – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
V – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
Равные тела имеют равные объёмы.
2. Если фигура, составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
3. В качестве единицы измерения площади обычно берут квадрат со стороной равной единице измерения отрезков.
ПОНЯТИЕ ОБЪЁМА
Объём всего тела складывается из объёмов составляющих его тел.
S – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
V – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
Равные тела имеют равные объёмы.
2. Если фигура, составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
3. В качестве единицы измерения площади обычно берут квадрат со стороной равной единице измерения отрезков.
В качестве единицы измерения объёма обычно берут куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.
ПОНЯТИЕ ОБЪЁМА
Объём прямоугольного параллелепипеда
Теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. a,b,c – измерения прямоугольного параллелепипеда. V = abc.Следствие 1: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = abc=Sh.
Следствие 2.
Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. V = SABCh.
Литература:
Геометрия 10 – 11: Учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян и др., Просвещение 2003 год.Изучение геометрии в 10 – 11 кл.: Метод. рекомендации к учебнику / С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов, Просвещение, 2001 год
Выполнила:
Пахомова Е.А. учитель математики МОУ СОШ с. Таёжное
Слайд 2
Цели урока:
Ввести понятие объема тел, его свойств, единиц измерения объёма. Повторить с учащимися формулы для нахождения объёма параллелепипеда, куба. Познакомить учащихся с объёмами прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями.
Слайд 3
Подобно тому как все искусстватяготеют к музыке, все наукистремятся к математике. Д. Сантаяна
Слайд 4
Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах. Пойа Д.
Слайд 5
Площадь Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Объем Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.
Слайд 6
Свойства площадей: 1. Равные многоугольники имеют равные площади Свойства объемов: 1. Равные тела имеют равные объемы F1 F2 F1 F2
Слайд 7
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. SF=SF1+SF2+SF3+SF4 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. VF=VF1+VF2 F2 F3 F1 F4
Слайд 8
Площадь За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. 1 км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2 , 1 а, 1 га и т.д. Объем За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. Аналогично определяют 1 м3, 1 дм3, 1 см3 , 1 мм3 и т.д. 1 1 1 1 1
Слайд 9
Площадь Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади Объем Равновеликими называются тела, объемы которых равны VF=VF1 F2 F1 F2 F1 SF=SF1
Слайд 10
В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.
Слайд 11
Объем прямоугольного параллелепипеда:
а-длина b-ширина с- высота V=a.b.c Sосн=a.b V=Sосн.H а с в
Слайд 12
Объем куба:
V=a3 V=Sосн.H а а а Sосн=a2
Слайд 13
Объем прямой призмы:
V=Sосн.H Vпарал=Sосн.H S осн=2.SABC По свойству объемов Vпарал=2.SABС.H V призмы = (V парал) :2 V призмы = (2.SABС. H): 2
Слайд 14
Объем пирамиды:
У 2 и 3 пирамиды- SC- общая, трCC1B1= трCBB1 У 1 и 3 пирамиды- СS- общая, трSAB= трBB1S V1=V2=V3 Vпризмы= 3 V пирам Vпирамиды=1 V призмы 3 Vпирамиды=1 Sосн.H 3 Достроим пирамиду ABCS до призмы. Достроенная призма будет состоять из 3 пирамид- SABC, SCC1B1, SCBB1
Слайд 15
Объем цилиндра:
Обозначения: R- радиус основания H- высота L - образующая L=H V - объем цилиндра V = ПR2H - объём V= Sосн.H Sосн= ПR2 L
Слайд 16
Конус:
ОБОЗНАЧЕНИЯ: R - радиус основания L - образующая конусаH – высота V – объем V=1ПR2Н 3- объём
Слайд 18
Проверь свои знания:
Сформулируйте понятие объема. Сформулируйте основные свойства объемов тел. Назовите единицы измерения объема тел. Назовите формулу для измерения объема - прямоугольного параллелепипеда; - объема куба; - объем прямой призмы; - объем пирамиды; - объем цилиндра и объем конуса. Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза? V = ПR2HV=П(2R)2 .H =П4R2. H =ПR2. H 4 4 Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид? Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?
Слайд 19
Домашняя работа:
Выучить формулы объемов тел, определения. № 648(а,в), № 685, № 666(а,в)
Слайд 20
Закрепление пройденного материала:
Задача №1 Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба? + + = a1 a2 a3 ?
Слайд 21
Решение: VF=VF1+VF2+VF3 VF1=33 =27 (см3) VF2=43 =64 (см3) VF3=53 =125 (см3) VF=27+64 +125=216 (см3) VF=а3 а3=216 (см3) а= 6 (см) Ответ: ребро куба равно 6 см.
Объемы тел
Составитель: Юминова Олеся Викторовна,
учитель математики
Красноярского аграрного техникума
Цели урока:
Ввести понятие объема тел, его свойств, единиц измерения объёма. Повторить с учащимися формулы для нахождения объёма параллелепипеда, куба. Познакомить учащихся с объёмами прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями.
Подобно тому как все искусстватяготеют к музыке, все наукистремятся к математике. Д. Сантаяна
Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах. Пойа Д.
Площадь Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
Объем Объем тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.
Свойства площадей: 1. Равные многоугольники имеют равные площади
Свойства объемов: 1. Равные тела имеют равные объемы
F1
F2
F1
F2
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. SF=SF1+SF2+SF3+SF4
2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. VF=VF1+VF2
Площадь За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. 1 км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2 , 1 а, 1 га и т.д.
Объем За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. Аналогично определяют 1 м3, 1 дм3, 1 см3 , 1 мм3 и т.д.
1
1
1
1
1
Площадь Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади
Объем Равновеликими называются тела, объемы которых равны
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1
В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.
Объем прямоугольного параллелепипеда:
а-длина
b-ширина
с- высота
V=a.b.c
Sосн= a.b
V=Sосн.H
Объем куба:
V=a3
V=Sосн.H
Sосн=a2
Объем прямой призмы:
V=Sосн.H
Vпарал=Sосн.H
S осн=2.SABC
По свойству объемов
Vпарал= 2.SABС.H
V призмы = (V парал) :2
V призмы = (2.SABС. H): 2
Объем пирамиды:
У 2 и 3 пирамиды- SC- общая,
тр CC1B1= тр CBB1
У 1 и 3 пирамиды- СS- общая,
тр SAB= тр BB1S V1=V2=V3
V призмы= 3 V пирам
Vпирамиды=1 V призмы 3
Vпирамиды=1 Sосн.H 3
Достроим пирамиду ABCS до призмы. Достроенная призма будет состоять из 3 пирамид- SABC, SCC1B1, SCBB1
Объем цилиндра:
Обозначения: R - радиус основания H - высота L - образующая L=H V - объем цилиндра
V = ПR2H - объём V= Sосн.H Sосн= ПR2
Конус:
ОБОЗНАЧЕНИЯ: R - радиус основания L - образующая конусаH – высота V – объем V=1ПR2Н 3 - объём
Это интересно:
В геологии существует понятие "конус выноса". Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
В биологии есть понятие "конус нарастания". Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
"Конусами" называется семейство морских молюсков подкласса пережнежаберных. Укус конусов очень опасен. Известны смертельные случаи.
В физике встречается понятие "телесный угол". Это конусообразный угол, вырезанный в шаре.
Проверь свои знания:
Сформулируйте понятие объема.
Сформулируйте основные свойства объемов тел.
Назовите единицы измерения объема тел.
Назовите формулу для измерения объема - прямоугольного параллелепипеда; - объема куба;
- объем прямой призмы; - объем пирамиды; - объем цилиндра и объем конуса.
Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
V = ПR2H V=П(2R)2 .H =П4R2. H =ПR2. H 4 4
Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид? Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?
Домашняя работа:
Выучить формулы объемов тел, определения. № 648(а,в), № 685, № 666(а,в)
Закрепление пройденного материала:
Задача №1 Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба? + + =
В этой презентации для 11-го класса мы рассмотрим понятие объема тела, свойства объемов тел, решим несколько задач.
Ранее учащиеся знакомились с вычислениями площади геометрических фигур. Площадь - это размер фигуры, которая находится на одной плоскости.
Если фигура лежит не в одной плоскости, а в пространстве, то тогда, говоря о ее размере, мы переходим к понятию объема. В презентации на третьем слайде проиллюстрированы объемные тела, имеющие различную форму и объем: амфора, баррель, ведро. Автор вводит понятие кубического сантиметра - посмотрите на следующий рисунок: показаны 1см на прямой, 1 квадратный сантиметр как единица площади и 1 кубический сантиметр как единица объема тела. 1 кубический сантиметр характеризуется тремя размерами тела: длиной, шириной и высотой, что наглядно показано на рисунке.
1) Объемы равных тел равны.
2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. На рисунке изображена фигура, состоящая из двух фигур F и Q. Тогда объем этой фигуры можно записать указать как V = V F + V Q .
3) Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго. На рисунке показан куб со стороной а = 1см. Внутри куба находится куб со стороной 1/5см. Объем первого куба равен V = a 3 = 1 см 3 . Объем куба внутри равен V 1 = (1/5) 3 = 1/125 см 3 .
Мы получили, что 1 см 3 > 1/125 см 3 , т.е. V> V 1 .
Обратите внимание на следствие, указанное на следующем слайде: объем куба с ребром 1/n равен 1/n 3 . Приводится доказательство этого утверждения. Допустим, дан куб со стороной а = 1см и куб, находящийся внутри первого куба со стороной а 1 = 1/n см. Объем первого куба равен V = a 3 = 1 см 3 .Объем куба внутри равен V 1 = (1/n) 3 = 1/n 3 см 3 . Что и требовалось доказать.
Применим свойства объемов тел на практике при решении задач.
Задача 1. Дано тело, состоящее из двух параллелепипедов, находящихся один над другим (см. рисунок). Известны ширина, длина и высота этих параллелепипедов: а c , b c , h c и a 3 , b 3 , h 3 . Необходимо найти объем всего тела. Найдем объем первого параллелепипеда V c = а c x b c x h c = 36. По аналогии вычислим объем первого параллелепипеда V 3 = а 3 x b 3 x h 3 = 3. Объем всего тела найдем, используя второе свойство объемов тел: V = V с + V 3 = 39.
Задача 2. На рисунке изображен кирпич, у которого известны размеры: длина 250, ширина 120, высота 65. Даны размеры проема 2200 x 120 x 700. Нужно определить, сколько кирпичей поместится в данный проем. Найдем объем одного кирпича V 1 = а 1 x b 1 x h 1 . Найдем объем проема по аналогичной формуле V 2 = а 2 x b 2 x h 2 . Тогда V 2 / V 1 будет обозначать количество кирпичей, поместившихся в проем. Примечание - можем не находить отдельно объема кирпича и проема, т.к. такой задачи не стоит, а сразу вычислить количество кирпичей V 2 / V 1 .
Данная презентация может быть применена учителем на уроке, а также может быть самостоятельно проработана учащимися.
