Замена переменной в определенном и неопределенном интеграле. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала ;
– Собственно замена переменной .

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .

Пример 2

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой .
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл, который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=ц(t), откуда dx=ц"(t)dt.

Теорема. Пусть функция x=ц(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) - две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как, то:

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида, (P n (x) - многочлен степени n, k - некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P n (x) и применить формулу (4) n раз.

II. Интегралы вида, (Pn(x) - многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P n (x).

Певообразная и ее свойства

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Свойства первообразной.

Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.

Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

2 Определение неопределенного интеграла .

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

а) где монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:

Где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Интегрирование по частям

Нахождение интеграла по формуле азывается интегрированием по частям. Здесь U=U(х),υ=υ(x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Формула Ньютона–Лейбница

Непрерывность определенного интеграла как функции верхнего предела

Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [а, х], вложенном в . Функция ,

где х Î , называется интегралом с переменным верхним пределом. Значение функции Ф (х) в точке х равно площади S(x) под кривой y = f (x) на отрезке [а, х]. В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке то функция Ф (х) также непрерывна на [а, b].

Пусть Δх таково, что х + Δ х Î . Имеем

По теореме о среднем найдется такое значение с Î [ x, x + Δ x], что Поскольку с Î , и функция f (x) ограничена, то переходя к пределу при Δ x → 0, получим

ОДР 1-го порядка

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

Решить дифференциальное уравнение

Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение:

Вместо x подставляем вместо y подставляем производную не трогаем: Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: Теперь в правой части выносим лямбду за скобки: Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду: В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

ЛОУ.Общие св-ва решений

то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Коэффициенты и и правая часть этого уравнения непрерывны.

Если правая часть уравнения , то уравнение называют линейным неоднородным. Если же , то уравнение имеет вид

(9)

и называется линейным однородным.

Пусть и –какие–либо частные решения уравнения (9), то есть не содержат произвольных постоянных.

Теорема 1. Если и –два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка, то так же является решением этого уравнения.

Так как и –решения уравнения (9), то они обращают это уравнение в тождество, то есть

(10)

Подставим в уравнение (9). Тогда имеем:

В силу (10). Значит, –решение уравнения.

Теорема 2. Если – решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C –постоянная, то также является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставим в уравнение (9). Получим: то есть –решение уравнения.

Следствие. Если и –решения уравнения (9), то так же является его решением в силу теорем (1) и (2).

Определение. Два решения и уравнения (9) называются линейно зависимыми (на отрезке ), если можно подобрать такие числа и , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих решений тождественно равна нулю на , то есть если .

Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения и называются линейно независимыми (на отрезке ).

Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, то есть (или наоборот ).

В самом деле, если и –линейно зависимы, то , где по меньшей мере одна постоянная или отлична от нуля. Пусть, например, . Тогда , , Обозначая получим , то есть отношение – постоянно.

Обратно, если то . Здесь коэффициент при , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что и являются линейно зависимыми.

Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если и –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным.

Например, функции и при – линейно независимы, так как , так как . А вот функции 5x и x –линейно зависимы, так как их отношение .

Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) является решением уравнения (9) при любом выборе постоянных и .

Если решения и –линейно независимы, то – общее решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной.

В тоже время, если бы и были линейно зависимыми решениями, то уже не являлось бы общим решением. В этом случае , где α –константа. Тогда , где является постоянной. не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной.

Итак, общее решение уравнения (9):

19.Понятие линейно-независимой системы функций. определитель Вронского. достаточное условие линейной независимости. понятие фундаментальной системы функции. Примеры. Необходимое и достаточное условие отличия от нуля определителя Вронского на отрезке [а,в]

Понятие линейно-независимой системы функций

Функции называются линейно зависимыми на , если одна из них является линейной комбинацией других . Другими словами, функции называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что

Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции называются линейно независимыми на .

Система из линейно независимых на интервале решений

однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на коэффициентами называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.

Согласно теореме 1 произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма

, (5)

где - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Но оказывается, что и обратно, всякое решение дифференциального уравнения (3) на интервале есть некоторая линейная комбинация из указанных (независимых между собой) его частных решений (см. ниже теорему 4), образующих фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где - произвольные постоянные, а - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.

Отметим, что общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения однородного уравнения

. (6)

В самом деле,

С другой стороны, если есть произвольное решение уравнения (1), то

и, следовательно, есть решение однородного уравнения; но тогда существует такие числа , что

т. е. для этих чисел выполняется равенство (6).

Определитель Вронского.

Теорема 2. Если функции линейно зависимы на и имеют производные до -го порядка, то определитель

. (7)

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначается символом .

Доказательство. Так как функции линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество (4) на . Дифференцируя его раз, получим систему уравнений

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 2 вытекает, что если хотя бы в одной точке , то функции линейно независимы на .

Пример 2. Функции линейно независимы на любом , так как

Пример 3. Функции линейно независимы на любом , если - различные числа (действительные или комплексные).

В самом деле.

так как последний определитель есть определитель Вандермонда, который при различных не равен нулю.

Пример 4. Функции линейно независимы на любом .

Так как и

то линейная независимость указанных функций вытекает из второго примера.

Теорема 3. Для того чтобы решения линейного дифференциального однородного уравнения с непрерывными коэффициентами были линейно независимыми на , необходимо и достаточно, чтобы для всех .

Доказательство. 1) Если на , то функции линейно независимы независимо от того, являются они решениями уравнения или нет (см. замечание).

2) Пусть являются линейно независимыми функциями на и являются решениями уравнения .

Докажем, что всюду на . Допустим противное, что существует точка , в которой . Выберем числа , одновременно не равные нулю, так, чтобы они были решениями системы

(8)

Это можно сделать, так как определитель системы (8) есть . Тогда в силу теоремы 1 функция будет решением уравнения с нулевыми начальными условиями (по (8))

Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное решение . В силу теоремы существования и единственности решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, может быть только одно, следовательно, на т. е. функции линейно зависимы на , что не предполагалось. Теорема доказана.

Если - разрывные функции в интервале, где мы ищем решение, то уравнение может иметь не одно решение, удовлетворяющее начальным условиям , и тогда возможно, что на .

Пример 5. Легко проверить, что функции

линейно независимы на и для них на .

Это связано с тем, что функция является общим решением уравнения

где разрывна в точке . Для этого уравнения теорема существования и единственности не имеет места (в окрестности точки ). Не только функция , но и функция является решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим условиям и при .

Структура общего решения.

Я ндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com

Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция

, (9)

где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения , т. е. сумма (9) при любых , есть решение этого уравнения и, обратно, всякое решение этого уравнения представимо в виде суммы (9) при соответствующих значениях .

Доказательство. Мы уже знаем, что сумма (9) при любых есть решение уравнения . Пусть, обратно, есть произвольное решение этого уравнения. Положим

Для полученных чисел составим линейную систему уравнений относительно неизвестных чисел : , достаточно найти какие-нибудь – вещественные постоянные. Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8): . Используя начальные условия, определим

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n –го порядка

y (n ) + a n -1 (x )y (n - 1) + ... + a 1 (x )y " + a 0 (x )y = f (x ).

с непрерывными коэффициентами a n -1 (x ), a n -2 (x ), ..., a 1 (x ), a 0 (x ) и непрерывной правой частью f (x ).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных дифференциальных уравнений.

1. Если y 1 (x ) и y 2 (x )- два решения линейного однородного дифференциального уравнения

y (n ) + a n -1 (x )y (n - 1) + ... + a 1 (x )y " + a 0 (x )y = 0

то любая их линейная комбинация y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y 1 (x ) и y 2 (x ) - два решения линейного неоднородного уравнения L (y ) = f (x ) , то их разность y (x ) = y 1 (x ) − y 2 (x ) является решением однородного уравнения L (y ) = 0 .

3. Любое решение неоднородного линейного уравнения L (y ) = f (x ) есть сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

4. Если y 1 (x ) и y 2 (x ) - решения линейных неоднородных уравнений L (y ) = f 1 (x ) и L (y ) = f 2 (x ) соответственно, то их сумма y (x ) =y 1 (x ) + y 2 (x ) является решением неоднородного уравнения L (y ) = f 1 (x ) + f 2 (x ).

Обычно именно это последнее утверждение называют принципом суперпозиции .

Метод вариации постоянных

Рассмотрим неоднородное уравнение -го порядка

где коэффициенты и правая часть - заданные непрерывные функции на интервале .

Допустим, что нам известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

Как мы показали в § 1.15 (формула (6)), общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (2) и какого-либо решения уравнения (1).

Решение неоднородного уравнения (1) можно по

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) - это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x - это функция от t .
(2) ,
где t - это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2) . Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b - постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2 - это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

D) Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.

.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .

.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E) Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса .
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi"(t) dt $.

Теперь подставляем $ \begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end{vmatrix} $ в интеграл и получаем, что:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле .

Алгоритм метода замены переменной

Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi"(t) dt $$

После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t)dt $$

Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.

Примеры решений

Пример 1
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int e^{3x} dx $$
Решение
Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = $$ Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $: $$ = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$