Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y

В статье " " мы рассказали о терминах Погрешность и неопределенность измерений, истории их возникновения и взаимосвязи. Как уже говорилось в этой статье, сейчас, в связи с вступлением в ВТО и приведением российских нормативов в соответствие международным стандартам, требуется оценивать качество проведенных измерений не в привычных терминах "погрешности", а в какой-то, для большинства людей непонятной, "неопределенности".

В этой статье мы рассмотрим практический пример расчета неопределенности выполненных измерений на примере обычного люксметра. Однако, новые люксметры-яркомеры-пульсметры "еЛайт01" имеют встроенную функцию расчета неопределенности измерений (см. описание) . "еЛайт01" - единственная на рынке модель люксметра, автоматически рассчитывающая неопределенность измерений. Это стало возможным цифровой обработке сигнала, когда результат каждого измерения рассчитывается из многих сотен промежуточных измерений. При работе с обычным люксметром, пользователь вынужден вручную производить несколько измерений в каждой точке, из которых потом также вручную рассчитывает неопределенность измерений.

Пример расчета неопределенности измерений вручную.

Для вычисления неопределенности результатов измерений необходимо выполнить многократные измерения величины.

Исходные данные:

Источники неопределенности:

- случайная погрешность;
- приборная погрешность;
- погрешность отсчета;
- влияние сторонних факторов (температура, питающее напряжение, сторонняя засветка или затенение фотодатчика);
- влияние присутствия человека.

Например, если при измерениях освещенности на рабочем месте использовать обычный прибор люксметр "еЛайт02" (допускаемая основная относительная погрешность измерений освещенности – 8% ), то придется провести несколько замеров. Например, пусть на указанном рабочем месте получены следующие 6 значений, лк: 388 , 377 , 369 , 369 , 370 , 372 лк.

Вычисление неопределенности.

Результат расчета неопределенности измерений освещенности для люксметра «еЛайт02»:

Расширенная неопределенность результатов измерений освещенности прибором «еЛайт02» U(E) = 9.4%

5.1. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер. Формула для вычислений подобна (7-П1)

мВ

(17-П1)

Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют по формуле

5.2. По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным.

Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровке вольтметра, определяются соотношением (2-П1). Тогда соответствующую стандартную неопределенность u B , V вычисляют по формуле

(19-П1)

Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 710 -4 R. Тогда при R=R 0 соответствующую стандартную неопределенность вычисляют по формуле

Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны

Соответствующую стандартную неопределенность получают в соответствии с формулой

В дальнейшем этой составляющей неопределенности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими - можно пренебречь.

Суммарную стандартную неопределенность u B , вычисленную по типу В, определяют по формуле

5.3. Суммарную стандартную неопределенность u C вычисляют по формуле

5.4. Эффективное число степеней свободы

рассчитывают по формуле (11)

(24-П1)

5.5. Коэффициент охвата k находят по таблице 4 и определяют по формуле

(25-П1)

5.6. Расширенную неопределенность U 0,95 определяют следующим образом

6. Сравнение результата вычислений различными методами

Сравнение результата вычислений погрешности измерений в доверительном интервале, соответствующем вероятности Р=0,95 и расширенной неопределенности с коэффициентом охвата равном двум, т.е. соответствующем уровню доверия 0,95. совпадают и равны 0,012 А.

Следует отметить, что это не случайно, поскольку в основе расчетов лежат одни и те же измерительные данные и одни те же подходы к распределениям различных переменных. Сравнения результатов измерений, определенных с помощью классического подхода и концепции неопределенности, как показано на многочисленных примерах в различных публикациях дают одни и те же окончательные результаты .

Однако результат, полученный в концепции неопределенности трактуется иначе, чем результат, полученный при применении классического подхода. В концепции неопределенности не используются понятия истинного и действительного значений измеряемой величины. Результат измерения - вот что считается реальностью, поскольку величину истинного значения никто не знает. Расширенная неопределенность трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли быть обосновано приписаны измеряемой величине.

Вообще расширенная неопределенность в концепции неопределенности не играет той роли, которая отводится в концепции погрешности. Считается, что основным результатом оценки является суммарная неопределенность u C , а расширенная неопределенность отличается от нее на постоянный коэффициент, который необходим в ряде специальных случаев для показа надежности оценки. Этот коэффициент может принимать значения от 2 до 3, при уровне доверия от 0,95 до 0,99.

Наши незнания об измеряемой величине определяются неопределенностью и группируются около результата измерения.

При однократных измерениях неопределенности типа А отсутствуют. Стандартную неопределенность типа В вычисляют по формуле

а расширенную по формуле (26).

В случае многократных измерений вычисляют также стандартную неопределенность типа А

Формулы (52) и (53) отличаются числом слагаемых.

Раздельное вычисление стандартных неопределенностей типа А и типа В обусловлено с одной стороны разной степенью корреляции между оценками неопределенностей, относимых к типу А и к типу В. С другой стороны по соотношению оценок неопределенностей разных типов можно сделать выводы о целесообразности многократных измерений, об ограничении числа наблюдений, о выборе пути по повышению точности результата измерений.

Расширенная неопределенность величины Y

Коэффициент охвата k o выбирают по правилам, изложенным в разделе (3.6).

Эффективное число степеней свободы вычисляют по формуле

где ν i – число степеней свободы при определении оценки i –ой входной величины:

ν i = m i – 1 - если u (X i) есть неопределенность типа А и

ν i = ∞ - если u (X i) есть неопределенность типа В.

Возможным вариантом нахождения величины Y при многократных измерениях аргументов является вычисление оценок значений Y k для каждой совокупности одновременно наблюдаемых отсчетов X ik . После чего для ряда значений Y k (k =1…m ) определяют вероятностные характеристики и результат измерения по правилам, изложенным в разделе 3.6. Этому методу, называемому методом приведения , отдают предпочтение, если зависимость (31) нелинейная.

Простейшими математическими действиями с результатами измерений являются сложение и вычитание . Они, например, присутствуют при определении значения блока мер; при реализации метода сравнения с мерой или другой величиной, значение которой известно; при взвешивании вещества в таре; при исключении из показания омметра сопротивления соединяющих проводов и т.д.

Оценка значения искомой величины равна алгебраической сумме оценок измеряемых величин

где с i =+1 для слагаемых и -1 – для вычитаемых аргументов.

Суммарная дисперсия определится как

В зависимости от значений коэффициентов с i поправка на корреляцию (вторая сумма в правой части формулы) может быть со знаком плюс или со знаком минус. В первом случае оценка суммарной неопределенности увеличивается, во втором уменьшается. Если значение ρ ij достаточно близко к единице пренебрежение корреляцией может внести существенную ошибку в оценку неопределенности результата измерения.

Пример 17. Оценить погрешность измерения размера детали в интервале от 50 до 80 мм многооборотной измерительной головкой 2МИГ, устанавливаемой на штативе и настраиваемой с помощью плоскопараллельных концевых мер длины 4 класса точности.

Решение. Исходя из требования, что число плиток в блоке не должно превышать 5 штук, предполагаем, что блок будет состоять из одной плитки 40,50,60 или 70 мм и не более четырех из интервала до 10 мм. Пределы погрешности плиток, определяемые классом точности Δ 40-70 = 4 мкм и Δ до 10 = 2 мкм.

Предел допустимой погрешности прибора 2 МИГ: Δ МИГ = 5 мкм.

Погрешности плиток и прибора заданы предельными значениями. Для них принимаем распределение по закону равной вероятности. Стандартные неопределенности оцениваются по типу В. Тогда получим:

u B.40-70 = Δ 40-70 /√3=4/1,73=2,31мкм, u B.0-10 =2/√3=1,15 мкм, u B.МИГ =5/√3=2,89 мкм.

Неопределенности типа А отсутствуют. Найдем суммарную стандартную неопределенность, мкм

Вычисляем расширенную неопределенность в предположении нормального закона распределения. При вероятности 0,95 принимаем коэффициент охвата, равным 2. Получим

U = k o ∙u C = 2∙4.36=8,72 мкм.

Пример 18 . Силу электрического тока определяют на основе прямых измерений напряжения с помощью вольтметра и токового шунта

Уравнение измерений

I = f(V,R)=V/R ,

где I - сила тока, V - напряжение, R - сопротивление шунта.

В результате измерений напряжения при температуре t=(23.00±0,05) 0 C получен ряд оценок значений V i , мВ (i = 1, …, n; n= 10): 100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.

Вычисляем среднее арифметическое значение напряжения

Значение сопротивления шунта установлено при его калибровке для I=10А и t=23 0 C и равно: R 0 =10,088 Oм

Находим оценку значения силы тока

На основе ряда наблюдений значения напряжения определяем стандартную неопределенность по типу А, мВ

Стандартную неопределенность силы тока определяем по формуле (53)

Находим стандартные неопределенности, относимые к типу В. Принимаем равномерный закон распределения.

1. Согласно результатам калибровки погрешность вольтметра зависит от его показания Δ=±3∙10 -4 ∙V+0,02 . Тогда стандартная неопределенность u B , V будет равна

2. Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны ±7∙10 -4 ∙R. Тогда при R=R 0 найдем

3. Границы неопределенности значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны ± α·Δt· R 0 . Где

α=6∙10 -6 К -1 – температурный коэффициент. При Δt =± 0,05 0 С границы неопределенности значения сопротивления равны

Стандартная неопределенность

Стандартная неопределенность u B , I в соответствии с формулой (52)

Вычисляем суммарную стандартную неопределенность

Для определения эффективного числа степеней свободы υ eff используем формулу (55)

При полученном числе степеней свободы и доверительной вероятности 0,95 коэффициент охвата k равен (таблица 8)

k=t P (υ eff)=t 0,95 (87)=1,99

Расширенная неопределенность

U 0,95 (I)= k o · u C (I) = 1,99·6,0·10 -3 = 0,012 A

Запишем результат измерения: I = 9,984 А, U =0,012 А, k o = 2, Р =0,95.

Вычисление характеристик погрешности результата измерений.

Для сравнения и ознакомления с реализацией на практике ниже приведено решение рассмотренной задачи в терминах погрешности измерений

Вычисляем СКО, характеризующие случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения, мВ

Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра определены при его калибровке в виде следующего выражения (в выражениях для границ погрешностей при разных значениях отклонений от нуля будем опускать знак ±):

Границы неисключенной систематической относительной погрешности значения сопротивления шунта, определенные при его калибровке, равны δ R =0,07%. Значение абсолютной погрешности

Погрешность измерения температуры равна Δt =± 0,05 0 С. Находим связанные с ней границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта

Предполагаем равномерный закон распределения неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений. Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока будет равно

После подстановки получим

Найдем границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока при доверительной вероятности Р = 0,95