Неопределенность измерения стандартная расширенная суммарная. Основные положения концепции неопределенности измерений

В Руководстве вместо понятия «погрешность измерения » вводится понятие «неопределенность измерения ». При этом неопределенность измерения трактуется в двух смыслах:

1) В широком смысле как «сомнение» относительно достоверности результата измерения. Например, сомнение в том, насколько точно после внесения всех поправок результат измерения представляет значение измеряемой величины.

2) В узком смысле неопределенность измерения понимается как параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

В данной концепции неопределенность измерения понимает-ся именно в узком смысле.

Неопределенность измерения – параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует дисперсию (разброс) значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. Необходимо ясно представлять, что неопределенность измерения – это не доверительный интервал в традиционном понимании (при заданной доверительной вероятности). Вероятность здесь характеризует меру доверия , а не частоту события.

Неопределенность измерения обычно имеет много составляющих. Некоторые из них могут быть оценены из статистического распределения результатов рядов измерений и могут характеризоваться экспериментальными стандартными отклонениями (аналог СКО). Другие составляющие оценивают из предполагаемых распределений вероятностей, основанных на опыте или другой информации. Они также могут характеризоваться стандартными отклонениями .

Неопределенность результата измерения отражает отсутствие точного знания значения измеряемой величины. Оно даже после внесения поправки на известные систематические погрешности все еще является только оценкой измеряемой величины вследствие неопределенности, возникающей из-за случайных эффектов и неточной поправки результата на систематические погрешности.

Водятся две оценки неопределенности:

- оценка по типу А – метод оценивания неопределенности путем статистического анализа рядов наблюдений ;

- оценка по типу В – метод оценивания иным способом , чем статистический анализ рядов наблюдений.

Целью классификации на тип А и тип В является показ двух различных способов оценки составляющих неопределенности.

Стандартную неопределенность типа А получают из функции плотностивероятности , полученной из наблюдаемого распределения по частости.

Стандартную неопределенность типа В получают из предполагаемойфункции плотности вероятностей , основанной на уверенности в том, что событие произойдет. Эта вероятность часто называется субъективной вероятностью.

В большинстве случаев измеряемая величина Y не является прямо измеряемой, а зависит от m других измеряемых величин X 1, X 2 , …, X m , называемых входными, через функциональную зависимость:

Cами входные величины Х, от которых зависит выходная величина Y , рассматриваются как измеряемые величины. В свою очередь они могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты. Это ведет к сложной функциональной зависимости f , которая, как правило, не может быть записана точно. Кроме того, f можно определить экспериментально или она может существовать как алгоритм, который должен быть реализован численно.

Оценку входной измеряемой величины Y , обозначенную как y, получают из приведенного выше уравнения, используя входные оценки х 1 , х 2 , …, х m для значений величин Х 1 , Х 2 , …, Х m . Выходная оценка y , которая является результатом измерения, выражается уравнением:

Стандартная неопределенность по типу А - u A оцени-вается по результатам многократных измерений, причем, исходными данными для ее вычисления являются их результаты , где i = 1,…, m, n i - число измерений i -ой входной величины. Стандартную неопределенность единичного измерения i -й входной величины u A , i вычисляют по формуле:

где - среднее арифметическое i -й входной величины.

Стандартную неопределенность u A (x i) измерений i -й входной величины, при которой результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле:

Стандартная неопределенность по типу В используется для оценки величины x , которая не была получена в результате повторных наблюдений. Связанная с ней оцененная стандартная неопределенность u В (x i) определяется на базе научного суждения, основанного на всей доступной информации о возможной изменчивости х . Фонд такой информации может включать:

Данные предварительных измерений;

Данные, полученные в результате опыта, или общие данные о поведении и свойствах соответствующих материалов и приборов;

Спецификации изготовителя;

Данные о поверке, калибровке, сведения изготовителя о приборе, сертификаты и т.п.;

Неопределенности, приписываемые справочным данным из справочников.

Например, если в свидетельстве о калибровке утверждается, что неопределенность массы эталона равняется 240 мкг на уровне трех стандартных отклонений, то стандартная неопределенность эталона массы равна 240 мкг: 3 = 80 мкг.

Для неопределенности типа В применяется аппарат субъективной теории вероятностей : вероятность характеризует меру доверия , а не частоту событий, как это используется в концеп-ции погрешности, основанной на частотной теории вероятностей. Для определения неопределенности по типу В широко используется априорная информация о неточности используемых данных.

Неопределенность по типу В может быть задана, например, и как некоторое кратное стандартного отклонения, так и как интервал, имеющий 90, 95 или 99 процентный уровень доверия. Если не указано иного, то можно предположить, что использовалось нормальное распределение для вычисления неопределенности. Поэтому стандартную неопределенность можно определить, разделив приведенное значение на соответствующий для нормального распределения коэффициент (см. ниже).

Часто приходится оценивать стандартную неопределенность и(х), связанную с влияющим фактором Х , значения которого нахо-дятся в заданных пределах от х - D до х + D. По имеющейся информации о величине Х необходимо принять некоторое априор-ное распределение вероятности возможных значений Х внутри заданных пределов. После этого стандартная неопределенность находится делением D на коэффициент k , зависящий от принятой функции распределения: и(х) = D/k . Наиболее типичными случаями при этом являются:

1. известны только пределы, в которых, в которых может находиться значение Х , т.е. 2D;

2. известно значение х изв и пределы, обычно симметричные, допускаемых значений ±D;

3. известен интервал от (х изв - D р ) до (х изв + D р ), охватывающий заданную долю р вероятности.

В первом случае в предположении равномерного распределе-ния значение коэффициента k может быть принято для симметрич-ных границ равным .

Во втором случае из-за известного значения х изв можно предположить, что вероятность нахождения Х вблизи х из в больше, чем вблизи границ х изв ± D. Т.е. можно принять треугольное распре-деление вероятности в качестве некоторого среднего между равно-мерным (прямоугольным) и нормальным. Значение коэффициента k при этом равно .

В третьем случае распределение вероятности принимается нормальным и значение коэффициента k зависит от заданной вероятности. Например, для р = 0,99 он равен 2,58.

Могут встречаться и другие модификации прямоугольного и нормального распределений, например, в виде равнобедренной трапеции с шириной верхней части, равной 2Db, где b находится в диапазоне от 1 (прямоугольное распределение) до 0 (треугольное распределение). Тогда значение и(х) определяется исходя из формулы и 2 (х) = D 2 (1 + b 2)/6.

Правильное использование фонда доступной информации для оценивания стандартной неопределенности по типу В требует интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, и является мастерством, которое приходит с практикой.

Оценивание неопределенности по типу В позволяет выйти за рамки традиционного статистического подхода, отнесенного к оцениванию по типу А, и находить значения составляющих неопределенности, для которых получение необходимой статистической информации затруднено или невозможно. К описанию же неопределенностей применяют статистический подход, независимо от способа их оценивания (имея в виду, что все поправки на систематические погрешности уже введены). Это видно на способе определения суммарной стандартной неопределенности.

Суммарная стандартная неопределенность u c (y ) – это стандартная неопределенность результата измерения, когда результат получают из значений ряда других величин. Оцененное стандартное отклонение, связанное с выходной оценкой или с результатом измерения y , называют суммарной стандартнойнеопределенностью и обозначают u c (y ).

Суммарная стандартная неопределенность для некоррелиро-ванных входных оценок определяется из формулы:

В этой формуле неопределенность u может определяться как по типу А, так и по типу В.

Суммарная стандартная неопределенность представляет собой оцененное стандартное отклонение и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине Y .

Несмотря на то, что суммарная неопределенность может использоваться для выражения неопределенности результата измерения, в некоторых случаях, например, в торговле или при измерениях, касающихся здоровья или безопасности, часто необходимо дать меру неопределенности, которая указывает интервал для результата измерения, в пределах которого находится большая часть распределения значений измеряемой величины. Для этого используется понятие расширенной неопределенности .

Расширенная неопределенность используется для выражения неопределенности результата измерения в торговле, промышленности, регулирующих актах, при охране здоровья и безопасности в качестве дополнительной меры неопределенности . Расширенную неопределенность U получают путем умножения суммарной стандартной неопределенности u c (y) на коэффициент охвата k :

Тогда результат измерения выражается как Y = y ± U . Это означает, что наилучшей оценкой значения, приписываемого величине Y , является у , и что интервал от у - U до у + U содержит, как можно ожидать, большую часть распределения значений, которые можно с достаточной уверенностью приписать Y .

Понятия доверительный интервал и доверительный уровень (вероятность) применяются в статистике к интервалу при условии, что все составляющие неопределенности были бы получены из оценивания по типу А, т.е. при статистической обработке результатов наблюдений. В настоящей концепции слово доверие не используется для модификации слова «интервал» при ссылке на интервал, определяемый U . Термин доверительный уровень также не используется в связи с интервалом и более предпочтительным является термин уровень доверия . U рассматривается как задание интервала вокруг результата измерения, который содержит большую часть р распределения вероятностей, характеризуемого результатом и его суммарной стандартной неопределенностью. Таким образом, р является вероятностью охвата или уровнем доверия для этого интервала.

При возможности следует оценивать и указывать уровень доверия р , связанный с интервалом U , хотя умножение u c (y ) на постоянную величину не дает никакой новой информации, а представляет уже имевшуюся информацию в новом виде. Но следует признать, что уровень доверия р будет неопределенным как из-за ограниченного знания распределения вероятностей у и и с (у ), так и из-за неопределенности самой и с (у).

Значение коэффициента охвата k выбирается на основе уровня доверия, требуемого интервалом от у – U до у – U , и обычно имеет значение от 2 до 3. Но он может и выходить за пределы этого диапазона. На практике связь коэффициента k с заданным уровнем доверия нелегко осуществить из-за отсутствия полного знания распределения вероятностей, характеризуемого результатом измере-ний и суммарной стандартной неопределенностью. Однако, если это распределение вероятностей близко к нормальному, то можно предположить, что принятие k = 2 дает интервал, имеющий уровень доверия около 95 %, а при k = 3 - около 99 %. В предположении равномерного распределения коэффициент охвата имеет, соответственно, значения 1,65 и 1,71.

При представлении результата измерения и его неопределенности следует исходить из принципа, что лучше дать слишком много информации, чем слишком мало. Например, следует:

Описать методы, используемые для вычисления результата измерения и его неопределенности из экспериментальных наблюдений и входных данных;

Перечислить все составляющие неопределенности и показать, как они оценивались;

Дать анализ данных таким образом, чтобы можно было легко повторить вычисление представляемого результата;

Дать все поправки и константы, используемые в анализе, и их источники.

1. Выразить математическую зависимость между измеряемой величиной Y и входными величинами X i , от которых она зависит. Функция f должна содержать каждую величину, включая все поправки и поправочные множители, которая может дать значительную составляющую в неопределенность результата измерения.

2. Определить х i - оцененное значение входной величины X i либо на основе статистического анализа рядов наблюдений, либо другими способами.

3. Оценить стандартную неопределенность и(х i) каждой входной оценки х i либо по типу А, либо по типу В.

5. Определить суммарную стандартную неопределенность и с (у) результата измерения у из стандартных неопределенностей, связанных с входными оценками.

6. При необходимости дать расширенную неопределенность, следует умножить суммарную стандартную неопределенность и с (у ) на коэффициент охвата k , который обычно находится в диапазоне от 2 до 3. Например, значения коэффициента охвата, который создает интервал, имеющий уровень доверия р при допущении нормального распределения, имеют следующие значения:

уровень доверия р , % коэффициент охвата k

Аналогично погрешностям, неопределенности измерений могут быть классифицированы по различным признакам.

По способу выражения их подразделяют на абсолютные и относительные.

Абсолютная неопределенность измерения — неопределенность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

Относительная неопределенность результата измерений — от ношение абсолютной неопределенности к результату измерений.

По источнику возникновения неопределенности измерений, подобно погрешностям, можно разделять на инструментальные, методические и субъективные.
По характеру проявления погрешности разделяют на систематические, случайные и грубые. В «Руководстве по выражению неопределенности измерения» отсутствует классификация неопределенностей по этому признаку. В самом начале этого документа указано, что перед статистической обработкой рядов измерений все известные систематические погрешности должны быть из них исключены. Поэтому деление неопределенностей на систематические и случайные не вводилось. Вместо него приведено деление неопределенностей по способу оценивания на два типа:

. неопределенность, оцениваемая по типу А (неопределенность типа А) — неопределенность, которую оценивают статистическими методами,

. неопределенность, оцениваемая по типу Б (неопределенность типа Б) — неопределенность, которую оценивают не статистическими методами.

Соответственно предлагается и два метода оценивания:

оценивание по типу А — получение статистических оценок на основе результатов ряда измерений,
оценивание по типу Б — получение оценок на основе априорной нестатистической информации.

На первый взгляд, кажется, что это нововведение заключается лишь в замене существующих терминов известных понятий другими. Действительно, статистическими методами можно оценить только случайную погрешность, и поэтому неопределенность типа А — это то, что ранее называлось случайной погрешностью. Аналогично, НСП можно оценить только на основе априорной информации, и поэтому между неопределенностью по типу Б и НСП также имеется взаимно однозначное соответствие.

Однако, введение этих понятий является вполне разумным. Дело в том, что при измерениях по сложным методикам, включающим большое количество последовательно выполняемых операций, необходимо оценивать и учитывать большое количество источников неопределенности конечного результата. При этом их деление на НСП и случайные может оказаться ложно ориентирующим. Приведем два примера.

Пример 1. Существенную часть неопределенности аналитического измерения может составить неопределенность определения калибровочной зависимости прибора, являющаяся НСП в момент проведения измерений. Следовательно, ее необходимо оценивать на основе априорной информации нестатистическими методами. Однако во многих аналитических измерениях основным источником этой неопределенности является случайная погрешность взвешивания при приготовлении калибровочной смеси. Для повышения точности измерений можно применить многократное взвешивание этого стандартного образца и найти оценку погрешности этого взвешивания статистическими методами. Этот пример показывает, что в некоторых измерительных технологиях в целях повышения точности результата измерения ряд систематических составляющих неопределенности измерений может быть оценен статистическими методами, т. е. являться неопределенностями типа А.

Пример 2 . По ряду причин, например, в целях экономии производственных затрат, методика измерения предусматривает проведение не более трех однократных измерений одной величины. В этом случае результат измерений может определяться как среднее арифметическое, мода или медиана полученных значений, но статистические методы оценивания неопределенности при таком объеме выборки дадут очень грубую оценку. Более разумным представляется априорный расчет неопределенности измерения по нормируемым показателям точности СИ, т. е. ее оценка по типу Б. Следовательно, в этом примере, в отличие от предыдущего, неопределенность результата измерений, значительная часть которой обусловлена влиянием факторов случайного характера, является неопределенностью типа Б.

Вместе с тем, традиционное разделение погрешностей на систематические, НСП и случайные также не теряет своего значения, поскольку оно точнее отражает другие признаки: характер проявления в результате измерения и причинную связь с эффектами, являющимися источниками погрешностей.

Таким образом, классификации неопределенностей и погрешностей измерений не являются альтернативными и взаимно дополняют друг друга.
В Руководстве имеются и некоторые другие терминологические нововведения. Ниже приведена сводная таблица терминологических отличий концепции неопределенности от классической теории точности.

Термины — примерные аналоги концепции неопределенности и классической теории точности

Классическая теория	Концепция неопределенности
Погрешность результата измерения	Неопределенность результата измерения
Случайная погрешность	Неопределенность, оцениваемая по тилу А
НСП	Неопределенность, оцениваемая по типу Б
СКО (стандартное отклонение) погрешности результата измерения	Стандартная неопределенность результата измерения
Доверительные границы результата измерения	Расширенная неопределенность результата измерения
Доверительная вероятность	Вероятность охвата (покрытия)
Квантиль (коэффициент) распределения погрешности	Коэффициент охвата (покрытия)

Новые термины, указанные в этой таблице, имеют следующие определения.

Стандартная неопределенность — неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения.
Расширенная неопределенность — величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине. Примечания.
1. Каждому значению расширенной неопределенности сопоставляется значение ее вероятности охвата Р.
2. Аналогом расширенной неопределенности являются доверительные границы погрешности измерений.

3. Вероятность охвата — вероятность, которой, по мнению экспериментатора, соответствует расширенная неопределенность результата измерений.
Примечания.

Аналогом этого термина является доверительная вероятность, соответствующая доверительным границам погрешности.
Вероятность охвата выбирается с учетом информации о виде за-кона распределения неопределенности.

4. Коэффициент охвата — коэффициент, зависящий от вида распределения неопределенности результата измерений и вероятности охвата и численно равный отношению расширенной не-определенности, соответствующей заданной вероятности охвата, к стандартной неопределенности.

5. Число степеней свободы — параметр статистического распределения, равный числу независимых связей оцениваемой статистической выборки.

1. Сущность концепции неопределенности измерений.

2. Отличие «неопределенности» от «погрешности».

3. Неопределенность типов А и В и их отражающие характеристики.

4. Основные источники неопределенности.

5. Методы объединения частных неопределенностей.

6. Объединение частных неопределенностей.

1. Сущность концепции неопределенности измерений

В качестве признанной на международном уровне меры доверия к результатам измерений принята неопределенность измерений.

Методология применения неопределенности измерений для оценки качества измерений (как меры доверия к результатам измерений) изложена в Руководстве GUM. В нем формально установлены общие правила для оценивания и выражения неопределенности для широкого круга измерений, реализующие концепцию «неопределенности». В Российской Федерации практические рекомендации по применению указанного Руководства изложены в рекомендациях.

Основные положения концепции «неопределенности»:

Неопределенность измерений – это параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обосновано приписаны измеряемой величине.

Неопределенность измерений есть оценка той части выражения результата измерения, которая характеризует интервал неопределенности, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли быть обосновано приписаны измеряемой величине (субъективная интерпретация неопределенности).

Неопределенность измерений понимают как неполное знание значения измеряемой величины и для количественного выражения этой неполноты вводят распределения вероятностей возможных (обосновано приписанных) значений измеряемой величины.

Таким образом, параметр этого распределения (также называемый - неопределенность) - количественно характеризует точность результата измерения.

Форма представления знаний о неопределенности - это параметр функции распределения результата измерения как случайной величины. Если в качестве этого параметра выбрано стандартное отклонение, то его называют стандартной неопределенностью. Если выбран доверительный интервал, то его называют расширенной неопределенностью.

Неопределенность измерений, как параметр, характеризует рассеяние множества возможных значений величин, а не погрешность конкретного результата измерения.

2. Отличие «неопределенности» от «погрешности»

Руководство GUM фактически приобрело статус международного регламента, обязательного к применению. Оно нацелено, во-первых, на обеспечение потребителей полной информацией о всех составляющих погрешности результатов измерений и, во-вторых, на международную унификацию отчетов об измерениях и оценке их точности, с целью формирования основы для международного сравнения результатов измерений. При этом имеется в виду, что всемирное единство в методах оценки точности измерений обеспечивает правильное использование результатов измерений во всех областях деятельности.

Концепция неопределенности, введенная в Руководстве, заключается в следующем.

Базовые понятия классической теории точности: истинное значение, действительное значение и погрешность измерения - не вводятся.

Взамен введено понятие неопределенность измерения , понимаемое как сомнение, неполное знание значения измеряемой величины после проведения измерений (трактовка в широком смысле) и как количественное описание этого неполного знания (трактовка в узком смысле).

Далее это понятие уточняется: неопределенность - параметр, связанный с результатом измерения и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть приписаны измеряемой величине.

В математической статистике известны два вида параметров, характеризующих рассеяние некоррелированных случайных величин: СКО и доверительный интервал. Они и принимаются в качестве характеристик неопределенности с наименованиями стандартная неопре деленность и расширенная неопределенность . При этом, как и следовало ожидать, оказалось, что стандартная неопределенность является полным аналогом СКО погрешности измерений, а расширенная неопределенность - полным аналогом доверительных границ погрешности измерений. И в этом указанная концепция сомкнулась с традиционной постановкой задачи оценивания точности измерений.

Таким образом, в части практических приложений новая концепция оценивания точности измерений оказалась полностью идентичной классической. Более того, эти концепции тесно связаны друг с другом и, в принципе, известны давно.

Можно констатировать, что эти концепции отличаются тем, к какой величине относят дисперсию, характеризующую разброс наблюдаемых значений.

При классическом подходе ее относят к истинному значению измеряемой величины X , в другом случае - к результату измерений L .

Но это различие не влияет на подведение окончательных результатов, поскольку и в классическом подходе погрешности измерений также приписывают результату измерений. Таким образом, обе концепции дополняют друг друга, сливаясь в единую концепцию оценивания точности результатов измерений.

При этом, следуя причинно-следственным связям, целесообразно установить следующую последовательность введения основных понятий теории точности измерений:

истинное значение величины => действительное значение величины => результат измерения => погрешность измерения => неопределенность результата измерения как характеристика этой погрешности.

Таким образом, понятия погрешность и неопределенность могут быть гармонично использованы без их взаимного противопоставления.