График изображения эл поля. Графический метод изображения структуры электрических полей. Силовые линии

Свойства физических тел и объектов опи-сываются физическими величинами . Одной из таких величин для электрического поля является напряженность . В соответствии с ранее сформулированным определением она описывает силовое действие поля на заря-женные тела в определенной точке элект-рического поля. Если поле неоднородное, то напряженность в разных точках поля разная. И для того, чтобы описать свойства поля во многих точках, необходимо подать большое количество значений напряженности. Это ус-ложняет изучение поля и мешает созданию в воображении человека представления о по-ле в каждом конкретном случае.

Напряженность электрического поля — его силовая характерис-тика.

Лучше представлять структуру электри-ческого поля помогает графический метод . В основе графического метода представления структуры электрического поля лежат ре-альные явления, которые можно наблюдать в опытах.

Пусть в электрическое поле положитель-но заряженного шарика внесена маленькая частичка вещества, также имеющая поло-жительный заряд. Если эта частичка сво-бодна и действие гравитационного поля не-значительное, то под воздействием электри-ческой силы она будет двигаться от шарика. Подобное будет наблюдаться в любой точке поля заряженного шарика (рис. 4.20).

Изобразив траектории движения многих положительно заряженных частичек, нахо-дящихся в электрическом поле, и указав на них направление действующей силы, полу-чим картину, которая называется спектром этого поля.

Линии, образующие спектр элект-рического поля, называют линиями напряженности электрического поля, или сило-выми линиями.

Понятие силовой линии впервые ввел в науку М. Фарадей на основании знаний, полученных в ходе экспериментальных ис-следований.

Опыты, известные М. Фарадею, можно осуществить в современных условиях.

Возьмем металлический проводник с при-крепленными к нему бумажными полос-ками и соединим его с кондуктором электрофорной машины. Если приведем ее в действие, то все полоски бумаги разойдутся в разные стороны вследствие взаимного от-талкивания (рис. 4.21). Результаты этого опыта (и подобных ему) позволяют пост-роить спектр электрического поля отдельно взятого заряженного тела. Он показан на рис. 4.22. Стрелки на силовых линиях пока-зывают направление силы, которая будет действовать на положительно заряженное тело, находящееся в данной точке поля.

Поэтому силовые линии «выходят» из положительно заряженного тела и «входят» в отрицательно заряженное тело (рис. 4.22). При этом следует помнить, что они «выхо-дят» и «входят» перпендикулярно поверх-ности тела.

Линии напряженности электрического по-ля перпендикулярны поверхности заряженного тела в тех точках, где они начинаются. Материал с сайта

Возьмем два металлических проводника с бумажными полосками и соединим их с кондукторами электрофорной машины. При-ведем в действие электрофорную машину и увидим, что бумажные полоски начнут при-тягиваться друг к другу (рис. 4.23). Соот-ветственно, поле двух разноименно заряжен-ных тел будет иметь спектр, изображенный на рис. 4.24.

Криволинейная форма линий напряжен-ности объясняется тем, что на положи-тельно заряженную частичку действуют две силы со стороны каждого тела. Равнодей-ствующая этих сил в каждой точке поля является касательной к линиям напряжен-ности.

Линии, касательные к которым в любой точке показывают направление силы, действующей на положительно заряженное точечное тело, называются силовыми ли-ниями .

Направления сил, которые будут дейст-вовать в разных точках поля двух заря-женных тел, показаны на рис. 4.25.

Поскольку линии напряженности всегда перпендикулярны поверхности, то спектры полей тел различной формы будут разными (рис. 4.26).

На этой странице материал по темам:

Спектры эл. полей различных заряжённых тел
Графическое изображение электрического поля конспект
Изображения линий электрических полей на опытах
Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
Силовые линии – это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического поля (рис. 1.5). Густота силовых линий (число силовых линий, проходящих через единицу площади) пропорциональна напряженности электрического поля.
Эквипотенциальные поверхности (эквипотенциали) – поверхности равного потенциала. Это поверхности (линии), при движении по которым потенциал не меняется. Иначе, разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциальной поверхности равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону наиболее резкого убывания потенциала. Этот факт следует из уравнения (1.10) и доказывается в курсе математического анализа разделе «Скалярные и векторные поля».
Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора, если заряд положительный, и противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно, силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий, как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния (

) до заряда. Эквипотенциальные поверхности электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда.

На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно найдется равный ему по модулю заряд другого знака.
1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.
Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора электрического поля через плоскую поверхность площади

называется величина:

, (1.16)

где – напряженность электрического поля, которая предполагается постоянной в пределах площадки

;

– угол между направлением вектораи единичного вектора нормалик площадке

(рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать, используя понятие скалярного произведения векторов:

. (1.15,а)
В случае, когда поверхность не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части

, которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхностьS i очень мала (

), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают

. Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхностьопределяется выражением:

. (1.17)
В качестве примера рассмотрим сферу радиуса , центром которой служит положительный точечный заряд , и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же

.
Площадь сферы

,
тогда

.
Величина

и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем

. Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:

.
Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется

не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величинуследует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так:
Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равняется

, где

 алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри этой поверхности.
Математически теорему можно записать в виде

. (1.18)
Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор постоянен и параллелен вектору, то поток через такую поверхность. Преобразуя первый интеграл, мы сначала воспользовались тем, что векторыипараллельны, а значит

. Затем вынесли величинуза знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы. Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.
Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.
Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.
Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля . Эквипотенциальными поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.
Пусть заряд единицы длины нити равен . Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхностивыберем цилиндр радиусаи длины, ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через основания
Однако,

, поскольку в любой точке на основаниях цилиндра

. Это значит, что

в этих точках. Поток через боковую поверхность

. По теореме Гаусса этот полный поток равен

. Таким образом, получили

.
Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда :

. Учитывая, что

, получим

,

, (1.19)
т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию (

).
Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях иот нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусамии). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в):

. Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Пример 1.3. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.
Решение. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому сразу можно сделать вывод о том, что густота линий, а, следовательно, и напряженность электрического поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен . Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м 2 ].
Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля

. Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен

, поэтому

. По теореме Гаусса получим:

.
Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра , найдем через поверхностную плотность заряда:

. Тогда, откуда:

. (1.20)
Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.
Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям и, лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим осьвертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности

. Воспользуемся уравнением (1.9):

.
Постоянную величину (поле однородно) можно вынести из под знака интеграла:

. Интегрируя, получаем: . Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями

. Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле:

. (1.21)
Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить, что величина  не расстояние между точками 1 и 2, а расстояние между эквипотенциальными плоскостями, которым эти точки принадлежат.
Пример 1.4. Рассчитать напряженность электрического поля двух параллельных плоскостей, однородно заряженных с поверхностными плотностями зарядов

и

.
Решение. Воспользуемся результатом примера 1.3 и принципом суперпозиции. Согласно этому принципу результирующее электрическое поле в любой точке пространства

, гдеи- напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектораинаправлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля. Во внешнем пространстве вектораинаправлены в разные стороны, поэтому(рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.
Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен , а радиус сферы –.
Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.
Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса

, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферуS :

. Сумма зарядов внутри сферырадиусаравна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса

. Тогда по теореме Гаусса:

. Поскольку

, то

. Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.
Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса

, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу:

. Сумма зарядов внутри сферы равна полному зарядузаряженной сферы радиуса. Тогда по теореме Гаусса:

. Учитывая, что

, получим:

.
Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области

, поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.
Константа

, поскольку

при

. Таким образом, во внешнем пространстве (

):

.
Точки на поверхности заряженной сферы (

) будут иметь потенциал

.
Рассмотрим область

. В этой области

, поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:

. В силу непрерывности функции

константадолжна быть равна значению потенциала на поверхности заряженной сферы:

. Таким образом, потенциал во всех точках внутри сферы:

.

Итак, мы получили, что напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, вне сферы равны напряженности и потенциалу поля, создаваемого точечным зарядом той же величины , что и заряд сферы, помещенным в центр сферы. Во внутреннем пространстве поле отсутствует, а потенциал во всех точках одинаков. Электрическое поле (силовые линии и эквипотенциальные поверхности) заряженной сферы изображены на рис. 1.12. Предполагается, что сфера заряжена положительно. Вне сферы силовые линии и распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда.

На рис. 1.13 изображены графики зависимости

и

. Функция

непрерывна, а функция

скачкообразно меняется при переходе через границу заряженной сферы. Величина скачка равна

. Действительно, вблизи заряженной сферы (

) напряженность поля во внешнем пространстве

, а внутри равна нулю.
Величину скачка можно выразить через поверхностную плотность заряда на сфере:

.
Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности проекция напряженности на направление нормали всегда испытывает скачок

независимо от формы поверхности. Рекомендуем проверить этот принцип для поля равномерно заряженной плоскости и поля двух параллельных заряженных плоскостей (примеры 1.3, 1.4).
С точки зрения математики непрерывность потенциала в точках заряженной поверхности означает, что

. С точки зрения физики непрерывность функции

можно объяснить следующим образом. Если бы потенциал на границе некоторой области имел бы скачок (разрыв), то при бесконечно малом перемещении некоторого зарядаиз точки 1, лежащей с одной стороны границы, в точку 2, лежащую на другой ее стороне, совершалась бы конечная работа

, гдеи потенциалы точек 1 и 2 соответственно, а величина

равна величине скачка потенциала на границе области. Конечная работа, совершенная на бесконечно малом перемещении, означает, что на границе раздела бы действовали бесконечно большие силы, что невозможно.
Напряженность электрического поля, в отличие от потенциала, на границе области может меняться очень резко (скачкообразно).
Пример 1.6. Две концентрические сферы радиусови(

) равномерно заряжены равными по модулю, но противоположными по знаку зарядами

и

(сферический конденсатор). Определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.
Решение. Решение этой задачи можно было бы также начать с применения теоремы Гаусса. Однако, используя результаты предыдущего примера и принцип суперпозиции (1.13, 1.14), ответ можно получить быстрее.
Во внешних точках пространства (

) электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Величина напряженности поля первой сферы

и направлена от сфер вдоль радиусов. Величина напряженности поля второй сферы такая же

, но направлена противоположно. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, во всех внешних точках пространства электрическое поле будет отсутствовать

.
Рассмотрим точки пространства между сферами (

). Эти точки являются внутренними для отрицательно заряженной сферы, поэтому в этой области

(см. пример 1.5). Для положительно заряженной сферы эти точки являются внешними, поэтому

. Таким образом, величина напряженности поля в этой области

. Здесь поле создают только заряды меньшей сферы.
Наконец, во внутренних точках пространства (

)

и

, поэтому электрического поля в этих точках нет.
Аналогично можно применить принцип суперпозиции и для потенциалов. Получаются следующие результаты:

:

;

:

;

:

.
Рекомендуем самостоятельно получить эти результаты, а также схематически изобразить электрическое поле и построить графики

и

.

а б

Зная вектор напряженности электростатического поля в каждой его точке, можно представить это поле наглядно с помощью силовых линий напряженности (линий вектора ). Силовые линии напряженности проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора напряженности(рис. 1.4,а ).
Число линий, пронизывающих единичную площадку dS, перпендикулярную к ним, проводят пропорционально модулю вектора (рис. 1.4,б ).
Силовым линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора . Полученная картина распределения линий напряженности позволяет судить о конфигурации данного электрического поля в разных его точках. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах. На рис. 1.5 приведены линии напряженности точечных зарядов (рис. 1.5, а , б ); системы двух разноименных зарядов (рис. 1.5, в )  пример неоднородного электростатического поля и двух параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 1.5, г )  пример однородного электрического поля.
1.5. Распределение зарядов
В некоторых случаях для упрощения математических расчетов истинное распределение точечных дискретных зарядов удобно заменить фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному распределению зарядов используют понятие о плотности зарядов  линейной , поверхностной  и объемной , т. е.

(1.12)
где dq  заряд, распределенный соответственно по элементу длины

, элементу поверхностиdS и элементу объема dV.
С учетом этих распределений формула (1.11) может быть записана в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то вместо q i нужно использовать dq = dV, а символ суммы заменить интегралом, тогда

. (1.13)
1.6. Электрический диполь
Для объяснения явлений, связанных с зарядами в физике используется понятие электрического диполя .
Систему двух равных по величине разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми много меньше расстояния до исследуемых точек пространства, называют электрическим диполем. Согласно определению диполя +q=q= q.

Прямую, соединяющую разноименные заряды (полюса), называют осью диполя; точку 0  центром диполя (рис. 1.6). Электрический диполь характеризуется плечом диполя : вектором , направленным от отрицательного заряда к положительному. Основной характеристикой диполя являетсяэлектрический дипольный момент = q. (1.14)
По абсолютной величине
р = q. (1.15)
В СИ электрический дипольный момент измеряется в кулонах умноженных на метр (Кл  м).
Рассчитаем потенциал и напряженность электрического поля диполя, считая его точечным, если  r.
Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов в произвольной точке, характеризуемой радиусвектором , запишем в виде:

где r 1 r 2  r 2 , r 1  r 2  r =

, так как  r;   угол между радиус-векторами и (рис. 1.6). С учетом этого получим

. (1.16)
Используя формулу, связывающую градиент потенциала с напряженностью, найдем напряженность, создаваемую электрическим полем диполя. Разложим вектор электрического поля диполя на две взаимно перпендикулярные составляющие, т. е.

(рис. 1. 6).
Первая их них определяется движением точки, характеризуемой радиусвектором (при фиксированном значении угла), т. е. значение Е  найдем дифференцированием (1.81) по r, т. е.

. (1.17)
Вторая составляющая определяется движением точки, связанным с изменением угла  (при фиксированном r), т. е. Е  найдем дифференцированием (1.16) по :

, (1.18)
где

,d= rd.
Результирующая напряженность Е 2 = Е  2 + Е  2 или после подстановки

. (1.19)
Замечание : При  = 90 о

, (1.20)
т. е. напряженность в точке на прямой проходящей через центр диполя (т. О) и перпендикулярно оси диполя.
При  = 0 о

, (1.21)
т. е. в точке на продолжении прямой, совпадающей с осью диполя.
Анализ формул (1.19), (1.20), (1.21) показывает, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием обратно пропорционально r 3 , т. е. быстрее, чем для точечного заряда (обратно пропорционально r 2).