Отношение потенциальной энергии к заряду. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Мы начнём с обсуждения потенциальной энергии, которую имеет заряд в электростатическом поле. Прежде всего необходимо вспомнить, при каких условиях можно вообще ввести понятие потенциальной энергии.

4.1 Консервативные силы

Сила называется консервативной (или потенциальной), если работа этой силы не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела.

Пусть, например, тело под действием консервативной силы ~ переместилось из начальной

точки 1 в конечную точку 2 (рис. 16 ). Тогда работа силы~ зависит только от положения

самих точек 1 и 2, но не от траектории движения тела. Например, для траекторий 1 ! a ! 2 и 1 ! b ! 2 величина A будет одинаковой.

Рис. 16. К понятию консервативной силы

Отметим, что работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Действительно, давайте выйдем из точки 1 по траектории 1 ! a ! 2 и вернёмся назад по траектории 2 ! b ! 1. На первой траектории сила совершит работу A, а на второй траектории работа будет равна A. В итоге суммарная работа окажется нулевой.

Так вот, понятие потенциальной энергии можно ввести только в случае консервативной силы. Потенциальная энергия W это математическое выражение, зависящее от координат тела, такое, что работа силы равна изменению этого выражения со знаком минус:

Или, что то же самое:

A = (W2 W1 ) = W1 W2 :

Как видим, работа консервативной силы есть разность значений потенциальной энергии, вычисленных соответственно для начального и конечного положений тела.

Примеры консервативных сил вам хорошо известны. Например, сила тяжести является консервативной. Сила упругости пружины тоже консервативна. Именно поэтому мы можем говорить о потенциальной энергии тела, поднятого над землёй, или о потенциальной энергии деформированной пружины.

А вот сила трения не консервативна: работа силы трения зависит от формы траектории и не равна нулю на замкнутом пути. Поэтому не существует никакой ¾потенциальной энергии тела в поле силы трения¿.

4.2 Потенциальность электростатического поля

Оказывается, что сила, с которой электростатическое поле действует на заряженное тело, также является консервативной. Работа этой силы, совершаемая при перемещении заряда, называется работой электростатического поля. Имеем, таким образом, важнейший факт:

Работа электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, и определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Работа поля по замкнутому пути равна нулю.

Этот факт называется также потенциальностью электростатического поля. Как и поле силы тяжести, электростатическое поле является потенциальным. Работа электростатического поля одинакова для всех путей, по которым заряд может двигаться из одной фиксированной точки пространства в другую.

Строгое математическое доказательство потенциальности электростатического поля выходит за рамки школьной программы. Однако ¾на физическом уровне строгости¿ мы можем убедиться в справедливости этого факта с помощью следующего простого рассуждения.

Нетрудно видеть, что если бы электростатическое поле не было потенциальным, то можно было бы построить вечный двигатель! В самом деле, тогда существовала бы замкнутая траектория, при перемещении заряда по которой поле совершало бы положительную работу (и при этом никаких изменений в окружающих телах не происходило бы). Крутим себе заряд по этой траектории, черпаем неограниченное количество энергии ниоткуда и все энергетические проблемы человечества решены:-) Но такого, увы, не наблюдается это вопиющим образом противоречит закону сохранения энергии.

Так как электростатическое поле потенциально, мы можем говорить о потенциальной энергии заряда в этом поле. Начнём с простого и важного случая.

4.3 Потенциальная энергия заряда в однородном поле

Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, равна mgh. Случай заряда в однородном поле оказывается очень похожим на эту механическую ситуацию.

Рассмотрим однородное электростатическое поле E, линии напряжённости которого направлены вдоль оси X (рис. 17 ). Пусть положительный заряд q перемещается вдоль силовой линии из точки 1 (с координатой x1 ) в точку 2 (с координатой x2 ).

0 x 1

Рис. 17. Перемещение заряда в однородном поле

Поле действует на заряд с силой ~ , которая направлена вдоль линий напряжённости. Работа

этой силы, как легко видеть, будет равна:

A = F (x2 x1 ) = qE(x2 x1 ):

Что изменится, если точки 1 и 2 не лежат на одной линии напряжённости? Оказывается, ничего! Формула для работы поля останется той же самой. Убедимся в этом с помощью рис. 18 .

0 x 1

Рис. 18. Перемещение заряда в однородном поле

Двигаясь из точки 1 в точку 2, давайте выберем путь 1 ! 3 ! 2, где точка 3 лежит на одной силовой линии с точкой 1. Тогда работа A32 на участке 32 равна нулю ведь мы перемещаемся перпендикулярно силе. В результате получим:

A = A13 + A32 = A13 = qE(x2 x1 ):

Мы видим, что работа поля зависит лишь от абсцисс начального и конечного положений заряда. Запишем полученную формулу следующим образом:

A = qEx2 qEx1 = ((qEx2 ) (qEx1 )) = (W2 W1 ) = W:

Здесь W1 = qEx1 , W2 = qEx2 . Работа поля, в соответствии с формулой (8 ), оказывается равна изменению со знаком минус величины

Эта величина и есть потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле. Через x обозначена абсцисса точки, в которой ищется потенциальная энергия. Нулевой уровень потенциальной энергии в данном случае соответствует началу координат x = 0 и на рисунках изображён пунктирной линией, перпендикулярной линиям напряжённости4 .

Напомним, что пока считается q > 0. Из формулы (9 ) следует, что при движении заряда вдоль силовой линии потенциальная энергия убывает с ростом x. Это естественно: ведь поле совершает положительную работу, разгоняя заряд, а кинетическая энергия заряда растёт за счёт убыли его потенциальной энергии.

Несложно показать, что формула (9 ) остаётся справедливой и для q < 0. В этом случае потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда уменьшается, а потенциальная энергия увеличивается.

Итак, важный вывод: в формуле для потенциальной энергии через q обозначается алгебраическая величина заряда (с учётом знака), а не его модуль.

4 На самом деле нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать где угодно. Иными словами, потенциальная энергия определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной C, т. е. W = qEx+C. Ничего страшного в такой неопределённости нет: физическим смыслом обладает на потенциальная энергия сама по себе, а разность потенциальных энергий, равная работе поля. В этой разности константа C сократится.

4.4 Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Пусть два точечных заряда q1 и q2 находятся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Можно показать, что потенциальная энергия их взаимодействия даётся формулой:

kq1 q2

Мы принимаем формулу (10 ) без доказательства. Две особенности данной формулы следует обсудить.

Во-первых, где находится нулевой уровень потенциальной энергии? Ведь потенциальная энергия, как видно из формулы (10 ), в нуль обратиться не может. Но на самом деле нулевой уровень существует, и находится он на бесконечности. Иными словами, когда заряды расположены бесконечно далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия полагается равной нулю (что логично в этом случае заряды уже ¾не взаимодействуют¿).

Во-вторых, q1 и q2 это снова алгебраические величины зарядов, т. е. заряды с учётом их знака.

Например, потенциальная энергия взаимодействия двух одноимённых зарядов будет положительной. Почему? Если мы отпустим их, они начнут разгоняться и удаляться друг от друга. Их кинетическая энергия возрастает, стало быть потенциальная энергия убывает. Но на бесконечности потенциальная энергия обращается в нуль, а раз она убывает к нулю, значит она является положительной.

А вот потенциальная энергия взаимодействия разноимённых зарядов оказывается отрицательной. Действительно, давайте удалим их на очень большое расстояние друг от друга так что потенциальная энергия равна нулю и отпустим. Заряды начнут разгоняться, сближаясь, и потенциальная энергия снова убывает. Но если она была нулём, то куда ей убывать? Только в сторону отрицательных значений.

Формула (10 ) помогает также вычислить потенциальную энергию системы зарядов, если число зарядов больше двух. Для этого нужно просуммировать энергии каждой пары зарядов. Мы не будем выписывать общую формулу; лучше проиллюстрируем сказанное простым примером, изображённым на рис.19 .

Рис. 19. Взаимодействие трёх зарядов

Если заряды q1 , q2 , q3 находятся в вершинах треугольника со сторонами a, b, c, то потенциальная энергия их взаимодействия равна:

kq1 q2

kq2 q3

kq1 q3

4.5 Потенциал

Из формулы W = qEx мы видим, что потенциальная энергия заряда q в однородном поле прямо пропорциональна этому заряду.

То же самое мы видим из формулы W = kq1 q2 =r: потенциальная энергия заряда q1 , находящегося в поле точечного заряда q2 , прямо пропорциональна величине заряда q1 .

Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению зарядаиз точки 1 в точку 2 равна:


.

Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:


,

тогда потенциальная энергия заряда в поле зарядаравна:


.

Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при

) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому


.

Ясно, что разные пробные заряды ив одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергиейи

. Однако отношениедля всех пробных зарядов будет одинаково. Величина


называется потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен


.

Если поле создается системой

точечных зарядов, то


,

где - расстояние от зарядадо начального положения заряда,

- расстояние от зарядадо конечного положения заряда(зарядперемещается силами поля).

Тогда потенциальная энергия зарядав поле системы зарядов:


,

а потенциал

    потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле:


.

Работа поля над зарядом:

Работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд.

Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна


следовательно, потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах:

.

1.5.Связь между напряженностью и потенциалом

Электрическое поле можно описывать либо с помощью векторной величины (силовая характеристика), либо с помощью скаляра(энергетическая характеристика). Сила связана, как известно, с потенциальной энергией:


,

где - оператор Набла,

.

Для заряженной частицы в электрическом поле:

,

, тогда

,

, тогда

- связь напряженности и потенциала, или

, или

, или

- проекция вектора на произвольное направлениеравна скорости убывания потенциалавдоль направления , или

.

Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания, а численная величина градиента является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала.

Вернемся к определению работы поля:

,

, отсюда циркуляция вектора на участке 1=2 равна

. Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа не зависит от пути.

Для обхода по замкнутому контуру:

и

- пришли к теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

1.6. Эквипотенциальные поверхности

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью:


Уравнение эквипотенциальной поверхности.

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок

потенциал не изменяется

. Таким образом, касательная к поверхности составляющая вектораравна нулю. Тогда векторнаправлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке, а линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Если эквипотенциальные поверхности построить таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одна и та же, то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно, чем гуще эквипотенциальные поверхности, тем больше

, тем больше.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля.

Рассмотрим эквипотенциальную поверхность точечного заряда. Потенциал точечного заряда (рис.1.4)


.

Таким образом, эквипотенциальная поверхность этого заряда будет сферой радиуса с центром в точке заряда. Силовые же линии, как мы установилиранее, расходятся радиально от заряда если он

, или сходятся к заряду, если он “-”. То есть векторперпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

§ 12.3 Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

На заряд q пр помещённый в произвольную точку электростатического поля с напряжённостью Е, действует сила F= q пр E. Если заряд не закреплён, то сила заставит его перемещаться и, значит, будет совершаться работа. Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда q пр из точки а электрического поля в точку b на отрезке пути dℓ, по определению, равна

(α - угол между F и направлением движения) (рис.12.13).

Если работа совершается внешними силами, то dA< 0 , если силами поля, то dA > 0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении q пр из точки a в точку b


(12.20)

Рисунок -12.13

(

- кулоновская сила, действующая на пробный зарядq пр в каждой точке поля с напряжённостью E).

Тогда работа


(12.21)

Перемещение совершается перпендикулярно вектору , следовательноcosα =1, работа переноса пробного заряда q пр от a к b равна


(12.22)

Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зависит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения начальной и конечной точек траектории.

Следовательно, электростатического поля точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы – консервативными .

Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:


(12.23)

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности . Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах.

Как известно, работа консервативных сил совершается за счёт убыли потенциальной энергии. Поэтому, работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q пр в начальной и конечной точках поля заряда q:


(12.24)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q пр в поле заряда q равна


(12.25)

Для одноименных зарядов q пр q >0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноимённых зарядов q пр q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создаётся системой n точечных зарядов q 1, q 2, …. q n , то потенциальная энергия U заряда q пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий U i , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:


(12.26)

Отношение не зависят от зарядаq и является энергетической характеристикой электростатического поля.

Скалярная физическая величина, измеряемая отношением потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называется потенциалом электростатического поля.


(12.27)

Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом q, равен


(12.28)

Единица потенциала – вольт .

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q пр из точки 1 в точку 2 может быть представлена как

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Разность потенциалов двух точек электростатического поля φ 1 -φ 2 равна напряжению. Тогда

Отношение работы, совершаемой электростатическим полем при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда называется напряжением между этими точками.


(12.30)

Графически электрическое поле можно изображать не только с помощью линий напряжённости, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальные поверхности – совокупность точек, имеющих одинаковый потенциал. Из рисунка видно, что линии напряжённости (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленноемножество (рис.12.14). Однако их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряжённость поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряжённость поля больше. Зная расположение эквипотенциальных линий (поверхностей), можно построить линии напряжённости или по известному расположению линий напряжённости можно построить эквипотенциальные поверхности.

§ 12.4 Связь напряжённости и потенциала

Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 1 – х 2 = dx , равна qЕ х dx. Та же работа равна q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать


Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :


где

- единичные векторы координатных осей х, у,z.

Из определения градиента следует, что


или

(12.31)

т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

      Поле равномерно заряженной сферы радиусом R

Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле


(r >R)

Разность потенциалов между точками r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) определим, используя соотношение


Потенциал сферы получим, если r 1 = R, r 2 → ∞:


      Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра

Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой


(τ – линейная плотность).

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) от оси цилиндра, равна


(12.32)

      Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой


(σ - поверхностная плотность).

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х 1 и х 2 от плоскости, равна


(12.33)

      Поле двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой


Разность потенциалов между плоскостями равна


(12.34)

(d – расстояние между плоскостями).

Примеры решения задач

Пример 12.1 . Три точечных заряда Q 1 =2нКл, Q 2 =3нКл и Q 3 =-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a =10см. Определите потенциальную энергию этой системы.

Дано : Q 1 =2нКл=2∙10 -9 Кл; Q 2 =3нКл=3∙10 -9 Кл; и Q 3 =-4нКл=4∙10 -9 Кл; a =10см=0,1м.

Найти : U .

Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия каждой из взаимодействующих пар зарядов, т.е.

U=U 12 +U 13 +U 23

где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны


;

;

(2)

Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов


Ответ: U=-0,126мкДж.

Пример 12.2 . Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R 1 =30см и внешним R 2 =60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.

Дано: R 1 =30см=0,3м; R 2 =60см=0,6м; q=5нКл=5∙10 -9 Кл

Найти : φ .

Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).

Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.

Потенциал в центре кольца, создаваемый бесконечно тонким кольцом,


где – поверхностная плотность заряда.

Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда


Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R 2 2 -R 1 2)- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца


Ответ : φ=25В

Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q 1 =2нКл и q 2 =5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r 1 = 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r 2 =5см.

Дано: q 1 =2нКл=2 ∙10 -9 Кл; q 2 =5нКл=5 ∙10 -9 Кл; r 1 = 20см=0,2м; r 2 =5см=0,05м.

Найти : А.

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ 1 , в точку с потенциалом φ 2 .

A 12 = q(φ 1 - φ 2)

При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:

A= -q(φ 1 - φ 2)= q(φ 2 - φ 1). (1)

Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля


;

(2)

Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,


Ответ: А=1,35 мкДж.

Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r 1 =2см до r 2 =10см, изменил свою скорость от υ 1 =1Мм/с до υ 2 =5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..

Дано: q=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; r 1 =2см=2∙10 -2 м; r 2 = 10см=0,1м; r 2 =5см=0,05м; υ 1 =1Мм/с=1∙10 6 м/с; до υ 2 =5Мм/с=5∙10 6 м/с.

Найти : τ .

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 идёт на увеличение кинетической энергии протона

q(φ 1 - φ 2)=ΔТ (1)

В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому


или dφ=-Edr,

тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r 1 и r 2 от нити,


(учли, что напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью,

).

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что

, получим


Откуда искомая линейная плотность заряда нити


Ответ : τ = 4,33 мкКл/м.

Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R =8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м 3 . Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r 1 =10см и r 2 =15см; 2) r 3 = 2см и r 4 =5см..

Дано: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нКл/м 3 =10∙10 -9 нКл/м 3 ; r 1 =10см=10∙10 -2 м;

r 2 =15см=15∙10 -2 м; r 3 = 2см=2∙10 -2 м; r 4 =5см=5∙10 -2 м.

Найти : 1) φ 1 - φ 2 ; 2) φ 3 - φ 4 .

Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 от центра шара.


(1)

где

- напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей вне шара на расстоянииr от его центра.

Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов


2) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 3 и r 4 от центра шара,


(2)

где

- напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей внутри шара на расстоянииr от его центра.

Подставив это выражение в формулу (2) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов


Ответ : 1) φ 1 - φ 2 =0,643 В; 2) φ 3 - φ 4 =0,395 В


Вычислим потенциальную энергию электрических зарядов для наиболее простых, но очень важных частных случаев.
Потенциальная энергия заряда в однородном поле Пусть заряд q перемещается в однородном электрическом поле с напряженностью Е из точки 1 в точку 2. Положение точки 1 определяется радиусом-вектором а точки 2 ради- усом-вектором г2. Действующая на заряд сила F = qE постоянна. Работа силы F не зависит от формы траектории, соединяющей точки 1 и 2. Это следует из общего доказательства потенциальности электростатического поля. Можно провести доказательство и с помощью непосредственного вычисления работы при перемещении заряда по разным путям точно так же, как это было сделано в «Механике» для гравитационных сил. Сейчас мы это делать не будем.
Проще всего вычислить работу, если заряд перемещается вдоль прямой, соединяющей точку 1 и точку 2 (рис. 1.78). Вектор перемещения Дг = г2 - rv Работа равна скалярному произведению силы на перемещение:
A = F Ar^qE (r2-r1) = qE r2-qE гг (1.18.1)
С другой стороны, согласно (1.17.1), А = ~(W 2 ~ Сравнивая выражения (1.18.1) и (1.17.1), получим выражение для потенциальной энергии заряда в однородном поле:
Wp ~ -qE г. (1.18.2)
Однородное поле создается, в частности, в пространстве между параллельными пластинами, несущими заряды противоположных знаков (рис. 1.79). Естественно выбрать систему координат так, чтобы ось X была направлена перпендикулярно пластинам. Тогда проекции Е„ и Е, равны нулю и выраже-
у z
ниє (1.18.2) приобретает вид:
Wp = -q(Exx + Еуу + Ezz) = ~qExx. (1.18.3)

Формула (1.18.3) подобна формуле Wp = mgh для потенци-альной энергии тела над поверхностью Земли. Роль массы играет заряд, ускорения свободного падения - напряженность поля, а вместо высоты h стоит координата х. Но знак энергии другой: минус вместо плюса. Дело здесь вот в чем. Масса всегда положительна, и сила тяготения обязательно направлена вертикально вниз. С учетом этих обстоятельств и была записана формула Wp = mgh. В ней стоит модуль ускорения свободного падения, и высота h отсчитывается от поверхности Земли. Формула (1.18.3) является более общей. Заряд q может быть как положительным, так и отрицательным; напряженность поля может быть направлена куда угодно, и ее проекция может иметь как положительное значение, так и отрицательное в зависимости от выбора системы координат.
В частности, если напряженность поля Е направлена вертикально вниз, а ось X вверх, то
Wp = qE\x\ (1.18.4)
в точном соответствии с выражением Wp = mgh.
Если электрическое поле совершает положительную работу, то энергия заряженного тела в поле уменьшается: AW 0. Такое движение заряженной частицы подобно движению камня, брошенного вверх. Потенциальная энергия частицы при этом растет, а кинетическая энергия уменьшается: частица тормозится.
Нулевой уровень потенциальной энергии
Потенциальная энергия в электродинамике определяется, как и в механике, с точностью до произвольной постоянной. Вместо выражения (1.18.2) мы могли бы написать:
W=-qE-r + C, (1.18.5)
где С - произвольная константа. При этом изменение потенциальной энергии остается тем же, а работа определяет имен- но изменение потенциальной энергии, а не саму энергию. Записывая формулу (1.18.2), мы фактически приравняли постоянную С к нулю. Это соответствует определенному выбору нулевого уровня потенциальной энергии. Например, для случая, изображенного на рисунке 1.79, потенциальная энергия считается равной нулю на поверхности пластины В. Но, как и при действии сил тяготения, нулевой уровень потенциальной энергии выбирают произвольно. Можно считать, что W - О на расстоянии от пластины В. Тогда
Wp = -qExx-qExx у
Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений, определяемая работой поля при перемещении заряда из начального положения в конечное.
Энергия взаимодействия точечных зарядов
В курсе механики было получено выражение для энергии взаимодействия точечных тел:
ті и» W = -G--- .
Р г
Если вместо точечных масс взять два разноименных по знаку заряда q1 и q2 (заряды притягиваются), то можно получить аналогичное выражение для потенциальной энергии их взаимодействия:
w (1.18.6)
Р г у "
Для зарядов одного знака (заряды отталкиваются) знак потенциальной энергии будет противоположным:
w (1.18.7)
Р г у "
Формулы (1.18.6) и (1.18.7) можно объединить в одну, если вместо модулей зарядов взять их алгебраические значения:
W . (1.18.8)
Р г v "
Знак потенциальной энергии автоматически получится пра-вильным.
Если заряды ql и q2 имеют одинаковые знаки, то потенциальная энергия их взаимодействия положительна (рис. 1.80, а). Она тем больше, чем меньше расстояние между зарядами, так как работа, которую могут совершить кулоновские силы при отталкивании зарядов друг от друга, будет больше. Если заряды имеют противоположные знаки, то энергия отрицательна и максимальное ее значение, равное нулю, достигается при г -> оо (рис. 1.80, б). Чем больше г, тем большую работу совершат силы притяжения при сближении зарядов.

Рис. 1.80
При записи потенциальной энергии в форме (1.18.8) уже сделан определенный выбор нулевого уровня потенциальной энергии. Считается, что потенциальная энергия бесконечно удаленных зарядов равна нулю: Wp -» 0 при г -» оо. Такой выбор нулевого уровня удобен, но не обязателен. Вместо выражения (1.18.8) можно было бы с тем же успехом записать, что
(1.18.9)
р г у "
где С - произвольная постоянная. Отсюда видно, что положительное или отрицательное значение потенциальной энергии особого физического смысла не имеет. Знак потенциальной энергии будет определенным при фиксации произвольной постоянной С. Изменив значение С, мы можем изменить знак Wp при данном расстоянии г между зарядами.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов
Потенциальная энергия системы точечных зарядов qv q2, ... ,qN равна сумме потенциальных энергий всех пар взаи-модействующих зарядов. Для трех зарядов
w kbSi+hbS*+hwз л
Р Г1,2 Г1,3 Г2,3
Докажите это самостоятельно, используя следующий прием. Вначале заряды q2 и qz находятся на бесконечно большом расстоянии от заряда qv Затем заряд q2 перемещается в точку, находящуюся на расстоянии гl 2 от первого заряда. Вслед за тем заряд qz перемещается в точку на расстоянии г1 3 от первого заряда и г2 3 от второго. Надо вычислить работу кулонов- ских сил, совершаемую при этих перемещениях, и приравнять ее изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.
В общем случае N зарядов
N N
Wp= I llk7rh> (1.18.11)
i=lfc=l (i*k)
где r; k - расстояние между зарядами номеров ink. Коэффи- 1
циент 2 получается из-за того, что при суммировании потенциальная энергия учитывается дважды в виде одинаковых
ri, k rk, і
Формулы для потенциальной энергии электрического заряда в однородном поле (1.18.2) и для двух точечных зарядов (1.18.8) целесообразно запомнить. Они будут встречаться достаточно часто.
? 1. Можно ли создать электростатическое по-
ле, линии напряженности которого парал- ^^^^^^^
лельны, а модуль напряженности возраста-
ет в направлении, перпендикулярном ли-
ниям (рис. 1.81)? Рис. 1.81
Нарисуйте график зависимости потенциальной энергии разноименно заряженных частиц от расстояния при условии, что произвольная постоянная С в формуле (1.18.9) положительна.
Как будет выглядеть формула (1.18.8), если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью є?

Если электрическое тело действует на электрически заряженные тела, то оно способно совершить работу по перемещению заряженных тел. Электростатическое поле, создаваемое точечным зарядом, является центральным, то есть сила, действующая на точечный заряд в таком поле, направлена вдоль прямой, соединяющей заряд-источник и пробный заряд. Ранее мы показали, что любая центральная сила является потенциальной, то есть работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

Вкратце напомним доказательство этого важнейшего утверждения. Пусть точечный пробный заряд q движется в центральном поле, создаваемом неподвижным зарядом Q (Рис. 174). Сила, действующая на пробный заряд, определяется законом Кулона

Где - вектор, проведенный от заряда источника Q, к точке A, в которой находится пробный заряд. При движении заряда по дугам окружностей с центром на заряде Q (например, по дугам AB, CD) работа электрической силы равна нулю, так векторы силы и перемещения взаимно перпендикулярны. При движении же в радиальном направлении (например, по отрезкам BC, DE) работа зависит только от начального и конечного расстояния до заряда источника. Так работы электростатического поля при перемещении по отрезкам DE и D1E1 , очевидно равны. Самое красивое доказательство этого утверждения связано с симметрией поля – повернем нашу систему вокруг оси проходящей через источник, так, что бы отрезок D1E1 совпал с отрезком DE - распределение поля при этом не изменится, почему должна изменится работа поля?

Так как для напряженности электростатического поля справедлив принцип суперпозиции, то потенциальным является любое электростатическое поле. Действительно, пусть точечный заряд q находится в электрическом поле, создаваемым системой неподвижных точечных зарядов Q1, Q2, … ,QN . При перемещении заряда на малый вектор перемещения, по определению, электрическое поле совершит работу, где

Результирующая сила, действующая на движущийся заряд q, равная сумме сил, действующих со стороны каждого из неподвижных точечных зарядов Qk. Работа этой силы может быть вычислена по формуле

Для того, чтобы вычислить работу по конечному участку траектории, необходимо разбить траекторию на малые участки (Рис. 175), затем с помощью формулы (1) вычислить работу на каждом малом участке, после чего их просуммировать

. (2)Фактически, данная сумма является двойной, так как каждая результирующая сила, является суммой сил, в соответствии с формулой (1). Обратим внимание, что в формуле (2) результирующая сила изменяется, так как вычисляется в разных точках траектории.

Как мы показали ранее, работа электрического поля точечного заряда не зависит от формы траектории, то есть каждое слагаемое из формулы (1) не зависит от формы траектории, следовательно, и вся сумма не зависит от формы траектории. Таким образом, любое электростатическое поле является потенциальным.

Следовательно, для точечного заряда, находящегося в электростатическом поле можно ввести потенциальную энергию взаимодействия U(x,y,z). Эта функция имеет следующий физический смысл: работа электрического поля при перемещения точечного заряда из одной точки с координатами (x1,y1,z1) в другую, с координатами (x2,y2,z2) равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

. (3)Изменение знака в данном определении достаточно логично: если электрическое поле совершило положительную работу (A > 0), то его энергия уменьшается (ΔU < 0). Для вычисления работы силы взаимодействия между двумя точечными заряженными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2 (Рис. 176). Если построить зависимость силы взаимодействия между зарядами от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (Рис. 177). Зависимость силы электростатического взаимодействия от расстояния аналогична силе гравитационного взаимодействия, с одним существенным отличием: гравитационная сила всегда есть сила притяжения, а электрическая может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания. В частности два положительных заряда отталкиваются. Поэтому выражение для работы электрического поля, будет аналогично формуле для работы гравитационной силы, но иметь противоположный знак

Эта работа равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, то есть Из этого выражения можно определить выражение для потенциальной энергии электростатического взаимодействия двух точечных зарядов . (4) При таком определении потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов одного знака положительна и стремится к нулю при бесконечном расстоянии между телами. Сила взаимодействия зарядов противоположных знаков направлена в противоположную сторону, поэтому работа этой силы при увеличении расстояния между зарядами будет отрицательна. Однако нам нет необходимости делать какие-то дополнительные оговорки, так как формула (4) автоматически учитывает знаки зарядов – если заряды противоположны, то их произведение (соответственно и энергия) отрицательны. Знак потенциальной энергии взаимодействия зарядов имеет очень наглядный смысл. Заряды одного знака отталкиваются, поэтому при их «разбегании» на бесконечно большое расстояние, электрическое поле совершит положительную работу – следовательно, изначально система этих зарядов обладает способностью совершить работу, поэтому ее энергия положительна, при удалении зарядов друг от друга их энергия уменьшается до нуля. Заряды противоположных знаков притягиваются, для того чтобы удалить их на бесконечно большое расстояние, внешние силы должны совершать положительную работу. При этом энергия пары зарядов должна возрастать, следовательно, изначально она отрицательна, а при удалении зарядов друг от друга возрастает до нуля. В целом обычная ситуация – притяжению соответствует отрицательная энергия, а отталкиванию - положительная. Отметим только, что такая очевидность справедлива только при выборе нулевого уровня потенциальной энергии на бесконечности. Формула (4) определяет потенциальную энергию взаимодействия двух точечных заряженных тел. Величины зарядов тел Q и q входят, как и следовало ожидать, в эту формулу симметрично. Подразделение зарядов на заряд-источник и пробный заряд является условным, их вполне можно поменять местами. Поэтому данную формулу предпочтительнее записывать в симметричном виде: энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 равна , (5)и имеет смысл работы, совершаемой полем при увеличении расстояния между зарядами от r до бесконечности, независимо от того, движется ли первый заряд, или второй, или движутся оба заряда, наконец, не зависимо от траекторий движения обоих зарядов. Далее, нельзя сказать какому именно заряду «принадлежит» эта энергия, в дальнейшем мы покажем, что энергия взаимодействия зарядов есть часть энергии самого электростатического поля, то есть она «размазана» по всему пространству, где существует поле, создаваемое этими зарядами. Если система состоит из более чем двух зарядов, то для подсчета энергии взаимодействия этих зарядов необходимо просуммировать энергии взаимодействия всех пар зарядов

здесь Uik - энергия взаимодействия зарядов qi и qk, находящихся на расстоянии rik друг от друга (Рис. 178).

40 Вопрос:

Электростатическое поле - эл. поле неподвижного заряда.

Fэл, действующая на заряд, перемещает его, совершая раборту. В однородном электрическом поле Fэл = qE - постоянная величина

Работа поля (эл. силы) не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории = нулю.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Электростатическая энергия - потенциальная энергия системы заряженных тел (т.к. они взаимодействуют и способны совершить работу).

Так как работа поля не зависит от формы траектории, то одновременно

сравнивая формулы работы, получим потенциальную энергию заряда в однородном электростатическом поле

Если поле совершает положительную работу (вдоль силовых линий), то потенциальная энергия

заряженного тела уменьшается (но согласно закону сохранения энергии увеличивается кинетическая энергия) и наоборот.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Энергитическая характеристика эл. поля.

Равен отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду.

Скалярная величина, определяющая потенциальную энергию заряда в любой точке эл. поля.

Величина потенциала считается относительно выбранного нулевого уровня.

РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ (или иначе НАПРЯЖЕНИЕ)

Это разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории заряда.

Напряжение между двумя точками (U) равно разности потенциалов этих точек и равно работе поля по перемещению единичного заряда.

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ И РАЗНОСТЬЮ ПОТЕНЦИАЛОВ

Вверх