Определить потенциал в начальной точке перемещения заряда. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Энергия системы точечных зарядов как сумма энергия парного взаимодействия зарядов (и принцип суперпозиции)

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда:

где W п1 и W п2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q , изменение потенциальной энергии равно

При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r 1 и r 2 от заряда Q ,

Если поле создано системой точечных зарядов Q 1 , Q 2 ,¼, Q n , то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:

Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q , а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q , находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q , получим

где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид

При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную . В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q :

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... ,n ). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением

где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля , определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = W п / q , откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e:

Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q 1, Q 2 ¼, Q n имеем

где r i - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j, до заряда Q i . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то

где r - расстояние от элементарного объема dx , dy , dz до точки (x , y , z ), где определяется потенциал; V - объем пространства, в котором распределен заряд.

Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (j 1 - j 2). Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов - источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность можно представить как A ¥ = q j 1 . Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля - этофизическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную : j = A ¥ / q . В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется какфизическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку . Последнее определение удобно записать следующим образом:

В современной науке и технике, особенно при описании явлений, происходящих в микромире, часто используется единица работы и энергии, называемая электрон-вольтом (эВ). Это работа, совершаемая при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками с разностью потенциалов 1 В: 1 эВ = 1,60×10 -19 Кл×1 В = 1,60×10 -19 Дж.

Интегральное представление энергии непрерывного распределения зарядов, c равнение со случаем энергии системы точечных зарядов

Пусть в элементе объема находится заряд. Для определения энергии взаимодействия всех элементовв объеме V можно использовать формулу(12.4). , перейдя в ней от суммы к интегралу:

Где - потенциал, создаваемый всеми зарядами в точке нахождения заряда.

На первый заряд формулы (12.4) и (12.5) кажутся аналогичными, тем более что (12.5) “выведена” из (12.4). Однако между ними существует принципиальное различие. Формула (12.4) учитывает лишь энергию взаимодействия между заряженными шарами, но не учитывает энергию взаимодействия между элементами зарядов, находящихся на каждом шаре. А (12.5) учитывает и первое, и второе.

Учитывая сказанное, энергию взаимодействия зарядов можно записать в виде:

Величина - это энергия заряженных шаров, учитывающая взаимодействие зарядов между собой на каждом шаре. Собственная энергия зависит от законов распределения зарядов шара и значений зарядов. Если имеется уединенный шар, то.

Тогда (12.7)

Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности.

Но при . Это приводит к серьезным трудностям при использовании модели точечных зарядов.

Электрическая энергия заряженных уединенного проводника и конденсатора

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная. Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю. Тогда

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q:

Применяя соотношение , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

Энергия электростатического поля, выраженная в виде объемного интеграла от векторов напряжённости Е и электрического смещения D .

Выражение силы, действующей на проводник, погруженный в жидкий или газообразный диэлектрик, через объемную плотность энергии электрического поля вблизи проводника.

При наличии среды вычисление сил, действующих на проводники и диэлектрики, усложняется.

Прежде всего выражение для объемной силыстановится несправедливым, даже если под понимать молекулярную плотность заряда. Это связано с тем, чтоесть средняя макроскопическая плотность, которая не учитывает поляризацию отдельных молекул. Между тем в неоднородном электрическом поле на поляризованную молекулу действует сила. Можно было бы попробовать усреднить эту силу по объему, но такая процедура наталкивается на значительные трудности. Воспользуемся энергетическим методом вычисления сил.

Рассмотрим несколько типичных задач. Найдем силу, действующую на диэлектрический шар, помещенный в слабо неоднородное поле. Последнее условие означает, что поле должно мало меняться на размере шара. Тогда дипольный момент шара будет приблизительно такой же, как и в однородном поле: где Е - внешнее поле (в отсутствие шара). Так как момент шара пропорционален полю, от он ведет себя как квазиупругий диполь и, следовательно, его энергия в поле . Произведем теперь виртуальное перемещение шара во внешнем неоднородном поле и запишем баланс энергии: где - сила, действующая на шар со стороны поля:

(19.1)

т. е. диэлектрик втягивается в сильное поле. Если (слабый диэлектрик), то выражение (19.1) справедливо для диэлектрика произвольной формы, так как в этом случае можно пренебречь взаимодействием отдельных участков диэлектрика, которые поляризуются независимо друг друга. Тогда объемная сила, действующая на диэлектрик,

(19.2)

т. е. определяется изменением плотности энергии электрического поля при внесении диэлектрика.

Кроме силы, действующей в неоднородном электрическом поле на диэлектрик как целое, в нем возникают еще и внутренние напряжения, называемые стрикционными силами. Рассмотрим пластину диэлектрика, помещенную в плоский конденсатор (рис. 11.5). Ясно, что под действием стрикционных сил пластина несколько

Рис. 11.5. К расчету стрикционных сил.

растянется вдоль поля. Попробуем вычислить стрикционные силы в этом примере. Воспользуемся энергетическим методом. При небольшем растяжении пластины изменение энергии поля складывается из двух частей. Во-первых, в слое энергия поля в вакууме заменяется на энергию поля в среде Здесь поле в вакуумном зазоре, которое не изменяется при деформации диэлектрика, поскольку мы принимаем заряд на конденсаторе неизменным (см. выше). Во-вторых, необходимо учесть изменение энергии во всем объеме вещества из-за изменения его плотности, от которой зависит диэлектрическая проницаемость: где .Частная производная взята здесь при постоянной температуре, чтобы исключить зависимость от температуры. Полный баланс энергии на единицу площади диэлектрика имеет вид

Отсюда натяжение, действующее на диэлектрик,

(19.4)

можно рассматривать как разность натяжений снаружи и изнутри диэлектрика, где Е -электрическое поле внутри последнего.

Обычно стрикционным давлением называется величина

(19.5)

Это давление не дает вклада в силу, действующую на диэлектрик как целое, при условии, что он окружен вакуумом.

Рассмотрим, наконец, произвольную систему заряженных тел, погруженных в однородный жидкий диэлектрик. Как мы уже знаем, такая среда ослабляет поле в раз, не изменяя его конфигурации. Отсюда, в частности, следует, что энергия поля также в раз меньше, чем в вакууме. Значит, и работа по перемещению зарядов, и силы между телами тоже уменьшаются в раз. На первый взгляд этот вывод кажется тривиальным: раз поле уменьшается в раз, то во столько же раз должна уменьшиться и сила его воздействия на заряд. Однако под полем в среде понимается среднее поле, тогда как действующее на заряд локальное поле зависит от формы полости, т. е. от формы заряженного тела. Чтобы разобраться, в чем здесь дело, вернемся к предыдущему примеру. Пусть диэлектрик является теперь жидким и заполняет весь конденсатор. Тем не менее мы можем представить себе, что между диэлектриком и пластиной конденсатора существует очень

тонкая щель, в которой поле равно так что все предыдущее рассмотрение остается в силе. В таком случае давление поля непосредственно на пластину равно т. е. такое же, как в вакууме, вместо ожидаемого ослабления в раз. Этот пример подтверждает, что сила, действующая со стороны поля на заряженное тело, действительно зависит от формы тела.

Однако жидкий диэлектрик имеет, как правило, механический контакт с телом и тоже действует на него с некоторой силой, которая в рассматриваемом примере дается выражением (19.4). Наконец, нужно учесть еще дополнительное давление в жидкости, возникающее за счет электрического поля и равное стрикционному давлению (19.5). Таким образом, полное давление на пластину

(19.6)

в соответствии с энергетическими соображениями.

Подчеркнем еще раз, что такой простой результат получается только для жидкого однородного диэлектрика. Механический контакт проводников с твердым диэлектриком является, как правило, неопределенным. Кроме того, внутренние упругие напряжения зависят теперь не от локального стрикционного давления, а от сил, действующих на весь диэлектрик.

При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r 1 и r 2 от заряда Q ,

Если поле создано системой точечных зарядов Q 1 , Q 2 ,¼ , Q n , то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:

где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥ ), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... , n ). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением

где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e :

где r i - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j , до заряда Q i . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то

Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (j 1 - j 2 ) .
Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов - источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность можно представить как A ¥ = q j 1 .
Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля - это физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную : j = A ¥ / q .
В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется как физическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку . Последнее определение удобно записать следующим образом:

Вопросы

1) Дайте определение потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля.

2) Приведите графики зависимостей напряженности поля и потенциала от расстояния для равномерно заряженной сферической поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.

§ 12.3 Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

На заряд q пр помещённый в произвольную точку электростатического поля с напряжённостью Е, действует сила F= q пр E. Если заряд не закреплён, то сила заставит его перемещаться и, значит, будет совершаться работа. Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда q пр из точки а электрического поля в точку b на отрезке пути dℓ, по определению, равна

(α - угол между F и направлением движения) (рис.12.13).

Если работа совершается внешними силами, то dA< 0 , если силами поля, то dA > 0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении q пр из точки a в точку b

(12.20)

Рисунок -12.13

(

- кулоновская сила, действующая на пробный зарядq пр в каждой точке поля с напряжённостью E).

Тогда работа

(12.21)

Перемещение совершается перпендикулярно вектору , следовательноcosα =1, работа переноса пробного заряда q пр от a к b равна

(12.22)

Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зависит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения начальной и конечной точек траектории.

Следовательно, электростатического поля точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы – консервативными .

Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:

(12.23)

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности . Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах.

Как известно, работа консервативных сил совершается за счёт убыли потенциальной энергии. Поэтому, работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q пр в начальной и конечной точках поля заряда q:

(12.24)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q пр в поле заряда q равна

(12.25)

Для одноименных зарядов q пр q >0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноимённых зарядов q пр q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создаётся системой n точечных зарядов q 1, q 2, …. q n , то потенциальная энергия U заряда q пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий U i , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(12.26)

Отношение не зависят от зарядаq и является энергетической характеристикой электростатического поля.

Скалярная физическая величина, измеряемая отношением потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называется потенциалом электростатического поля.

(12.27)

Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом q, равен

(12.28)

Единица потенциала – вольт .

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q пр из точки 1 в точку 2 может быть представлена как

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Разность потенциалов двух точек электростатического поля φ 1 -φ 2 равна напряжению. Тогда

Отношение работы, совершаемой электростатическим полем при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда называется напряжением между этими точками.

(12.30)

Графически электрическое поле можно изображать не только с помощью линий напряжённости, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальные поверхности – совокупность точек, имеющих одинаковый потенциал. Из рисунка видно, что линии напряжённости (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленноемножество (рис.12.14). Однако их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряжённость поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряжённость поля больше. Зная расположение эквипотенциальных линий (поверхностей), можно построить линии напряжённости или по известному расположению линий напряжённости можно построить эквипотенциальные поверхности.

§ 12.4 Связь напряжённости и потенциала

Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 1 – х 2 = dx , равна qЕ х dx. Та же работа равна q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать

Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :

где

- единичные векторы координатных осей х, у,z.

Из определения градиента следует, что

или

(12.31)

т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Поле равномерно заряженной сферы радиусом R

Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле

(r >R)

Разность потенциалов между точками r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) определим, используя соотношение

Потенциал сферы получим, если r 1 = R, r 2 → ∞:

Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра

Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой

(τ – линейная плотность).

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 (r 1 >R; r 2 >R) от оси цилиндра, равна

(12.32)

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой

(σ - поверхностная плотность).

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х 1 и х 2 от плоскости, равна

(12.33)

Поле двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой

Разность потенциалов между плоскостями равна

(12.34)

(d – расстояние между плоскостями).

Примеры решения задач

Пример 12.1 . Три точечных заряда Q 1 =2нКл, Q 2 =3нКл и Q 3 =-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a =10см. Определите потенциальную энергию этой системы.

Дано : Q 1 =2нКл=2∙10 -9 Кл; Q 2 =3нКл=3∙10 -9 Кл; и Q 3 =-4нКл=4∙10 -9 Кл; a =10см=0,1м.

Найти : U .

Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия каждой из взаимодействующих пар зарядов, т.е.

U=U 12 +U 13 +U 23

где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны

;

;

(2)

Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов

Ответ: U=-0,126мкДж.

Пример 12.2 . Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R 1 =30см и внешним R 2 =60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.

Дано: R 1 =30см=0,3м; R 2 =60см=0,6м; q=5нКл=5∙10 -9 Кл

Найти : φ .

Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).

Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.

Потенциал в центре кольца, создаваемый бесконечно тонким кольцом,

где – поверхностная плотность заряда.

Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда

Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R 2 2 -R 1 2)- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца

Ответ : φ=25В

Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q 1 =2нКл и q 2 =5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r 1 = 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r 2 =5см.

Дано: q 1 =2нКл=2 ∙10 -9 Кл; q 2 =5нКл=5 ∙10 -9 Кл; r 1 = 20см=0,2м; r 2 =5см=0,05м.

Найти : А.

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ 1 , в точку с потенциалом φ 2 .

A 12 = q(φ 1 - φ 2)

При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:

A= -q(φ 1 - φ 2)= q(φ 2 - φ 1). (1)

Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля

;

(2)

Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,

Ответ: А=1,35 мкДж.

Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r 1 =2см до r 2 =10см, изменил свою скорость от υ 1 =1Мм/с до υ 2 =5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..

Дано: q=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; r 1 =2см=2∙10 -2 м; r 2 = 10см=0,1м; r 2 =5см=0,05м; υ 1 =1Мм/с=1∙10 6 м/с; до υ 2 =5Мм/с=5∙10 6 м/с.

Найти : τ .

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 идёт на увеличение кинетической энергии протона

q(φ 1 - φ 2)=ΔТ (1)

В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому

или dφ=-Edr,

тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r 1 и r 2 от нити,

(учли, что напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью,

).

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что

, получим

Откуда искомая линейная плотность заряда нити

Ответ : τ = 4,33 мкКл/м.

Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R =8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м 3 . Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r 1 =10см и r 2 =15см; 2) r 3 = 2см и r 4 =5см..

Дано: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нКл/м 3 =10∙10 -9 нКл/м 3 ; r 1 =10см=10∙10 -2 м;

r 2 =15см=15∙10 -2 м; r 3 = 2см=2∙10 -2 м; r 4 =5см=5∙10 -2 м.

Найти : 1) φ 1 - φ 2 ; 2) φ 3 - φ 4 .

Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 1 и r 2 от центра шара.

(1)

где

- напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей вне шара на расстоянииr от его центра.

Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов

2) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r 3 и r 4 от центра шара,

(2)

где

- напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей внутри шара на расстоянииr от его центра.

Подставив это выражение в формулу (2) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов

Ответ : 1) φ 1 - φ 2 =0,643 В; 2) φ 3 - φ 4 =0,395 В

Особенности электрического взаимодей-ствия имеют много общего с гравитацион-ными. В частности, работа силы тяжести и работа электрической силы выражаются по-добными зависимостями.

Для силы тяготения:

A = mg(h 1 — h 2) = -(mgh 1 — mgh 2).

Для электрической силы:

A = qE(l 1 — l 2) = -(qEl 2 — qEl 1).

Из этого можно сделать вывод, что ра-бота электрической силы равна изменению потенциальной энергии тела, взятой с про-тивоположным знаком. То есть заряженное тело в однородном электрическом поле име-ет потенциальную энергию

W p = qEl.

Заряженное тело в электроста-тическом поле имеет потен-циальную энергию.

Потенциальная энергия заряженного те-ла определяется как электрическими харак-теристиками тела (его заряд), так и харак-теристиками выбранной точки электричес-кого поля — напряженность и координата. Изменение одной из трех характеристик ве-дет к изменению потенциальной энергии тела в целом.

Значение потенциальной энер-гии заряженного тела зависит от его заряда, напряженности электрического поля и коорди-наты.

Исследуем одну из точек электрического поля с целью определения ее энергети-ческих характеристик. Для этого проведем несколько мысленных экспериментов с то-чечным заряженным телом.

Пусть точечное тело имеет заряд q 1 и находится в поле напряженностью E̅ на расстоянии l от источника поля. Его потен-циальная энергия будет равна

W p1 = q 1 El.

Увеличим значение заряда в 2 раза. Его потенциальная энергия будет

W p 2 = 2q 1 El.

Таким образом, потенциальная энергия тела увеличится в 2 раза. Любые изменения заряда тела ведут к соответствующему из-менению его потенциальной энергии. Но в каждом случае отношение потенциальной энергии заряженного тела к его электри-ческому заряду в данной точке поля будет оставаться постоянным

W p / q = φ.

Величина φ называется потенциалом точ-ки поля. Если в полученное соотношение подставить значение потенциальной энергии W p , то получим

φ = qEl / q = El.

В значении потенциала отсутствуют ха-рактеристики тела, в том числе и его заряд. Поэтому можно считать справедливым ут-верждение, что потенциал является харак-теристикой электрического поля.

Физическая величина, которая является эне-ргетической характеристикой электрическо-го поля и равна отношению потенциальной энергии заряженного тела в электрическом поле к его заряду, называется потенциалом .

φ = W p / q,

где W p — потенциальная энергия заряжен-ного тела; q — заряд тела.

При измерении потенциала пользуются единицей, которая называется вольтом (В). Единица названа в честь итальянского уче-ного Алессандро Вольта.

Алессандро Вольта (1745 - 1825) - итальянский физик и физиолог, один из основателей учения об электрическом токе. Изобрел смоляной электрофор, чувствительный электроскоп с конденсатором, первый химический источник электрического тока, проводил широкие исследования электрических возбуждений мышц и нервов.

В соответствии с определением

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

Применяются также кратные и дольные единицы потенциала :

1 милливольт = 1 мВ = 10 -3 В;

1 микровольт = 1 мкВ = 10 -6 В;

1 киловольт = 1 кВ = 10 3 В;

1 мегавольт = 1 MB = 10 6 В.

Все вышеизложенные соображения каса-ются однородного поля , напряженность ко-торого не зависит от координаты точки на-блюдения.

Но их можно распространить и на другие случаи, в частности на электрическое поле точечного заряженного тела . Ононеодно-родно, напряженность изменяется от точки к точке вдоль силовых линий по закону

E = (1 / 4πε 0 ) . (q / r 2 ).

Воспользуемся определением потенциала точки электрического поля:

φ = El = (1 / 4πε 0 ) . (q . l / r 2 )

Учитывая, что l = r, получим

φ = (1 / 4πε 0 ) . (q / r ).

Потенциал поля точечного заряженного тела уменьшается обратно пропорционально расстоянию.

Потенциал не имеет направле-ния.

Потенциал является скалярной величи-ной и не имеет направления. Поэтому мож-но говорить, что вокруг точечного заряжен-ного тела существует бесконечно большое множество точек, в которых потенциалы будут одинаковы. Все они будут лежать на сферической поверхности радиуса r с цент-ром в источнике поля. Такую поверхность называют эквипотенциальной . Материал с сайта

На понятие потенциала распространяет-ся принцип суперпозиции . Потенциал точ-ки, в которой действуют поля нескольких электрически заряженных тел, равняется алгебраической сумме потенциалов каждого из них (рис. 4.60). При этом считается, что потенциал поля отрицательно заряженного тела отрицательный.

φ A = φ 1 + φ 2 — φ 3 .

В общем случае

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 + … + φ n .

Для измерения потенциала можно исполь-зовать электрометр, который в этом случае называют электростатическим вольтметром . Если внешний металлический корпус со-единить с поверхностью Земли, потенциал которой условно считается равным нулю, то электрометром можно измерять потенциал тела, соединенного с его стержнем.

На этой странице материал по темам:

Кулоновский потенциальная энергия
Урок физики. потенциальная энергия заряженного тела. потенциал

Вопросы по этому материалу:

Определить потенциал в начальной точке перемещения заряда. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Кулоновский потенциальная энергия

Урок физики. потенциальная энергия заряженного тела. потенциал